Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

這兩句德文，是德國數學家 David Hilbert 的名句，現在刻於他的墓前。
意思即是
我們必須知道。
我們將會知道。

兩句話雖然簡單，但充滿力量，充滿著正能量，對未知的將來充滿期望。

Age, Quantity or Magnitude?

最近看書，該書的作者用數學的角度去解釋中國傳統用作計算年齡的「虛歲」與我們現今常用來計算年齡的「周歲、實歲」，我覺得都幾有道理。

周歲，很多人也很清楚吧？
一個人出生的那一刻，視為0歲。以周歲計算，那人在某刻的年齡就是與0歲相差的時間間距。
例如小明在2009年1月1日出生，到了2009年7月1日，小明便是半歲。而在2011年1月1日，小明便是兩歲。

而虛歲則較為混亂。可能會有各處鄉村各處例也不為奇。小時候我父母說把實歲加二便是虛歲，說是甚麼天給一歲地給一歲，聽得我一頭霧水。
有些人說虛歲要加一歲，有些人說虛歲要加兩歲。究竟虛歲是怎樣計算的？
後來我發現(從wiki)，其實有一種更為人採用來計算虛歲的方法。那就是我們出生時視為一歲。然後每過一個春節便增加一歲。
例如小玲在農曆十二月三十日出生，出生時便已當一歲。一天後，即是正月初一，便視為兩歲了。

據該書的作者，西方傳統，或現時普遍來說，是把年齡視為一個量度的量(Magnitude)，而中國傳統則視年齡為一個可數的量(Quantity)。

以圖像來表示，圖A代表實歲，圖B代表虛歲。


按實歲的說法，一個人現在是n歲，是指那人在世上活了n年。
而按虛歲的說法，一個人現在是n歲，是指今年是那人活在世上的第n個年頭。

兩個說法的字眼相似，但背後的概念其實不同。

我一直用實歲的概念去理解虛歲，所以覺得虛歲難以理解，覺得只是一些迷信、很「玄」的東西。但當知道背後的概念後，所有疑惑都一掃而空。

把自己的思維套進可數的量來理解虛歲，就會覺得虛歲系統也是很自然的事情。

點算東西，自古以來也是由一開始。出生的那一年，是你來到世上的第一個年頭，於是記為「一歲」。春節來到，代表踏入新的一年，亦即是你來到世上的第二個年頭，於是記為「兩歲」，如此類推。虛歲就是用來點算這個年頭是你活在世上的第幾年。你看按「可數的量」這概念，虛歲是否也很自然呢？

西方人把年歲看成一個量度的量，那麼是否所有與時間有關的量也視為量度的量呢？其實並不是。我們現在所用的公元記年系統，其實是把時間看成可數的量。

在公元系統，是沒有一個參考點與之相對來量度，即是沒有公元0之說，而是把耶穌出生的那個年頭記為公元一年。在過一年，即耶穌出生後的第二個年頭記為公元二年。一直這樣數下去。
而耶穌出生前的一個年頭記為公元前一年，再對上的一個年頭是公元前二年，如此類推。
(別對我說甚麼耶穌其實不是在那年那年出生。我的重點是總之把某年定為第一年，然後第二年第三年這樣數下去。)

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不知大家怎樣看可數的量(quantity)和量度的量(magnitude)?
在我讀書的年代，包括小學中學和大學，我也沒有意識去區分兩者的差異。
只是覺得一直以來所認識的數在擴充。所認識的數線，由最初零散的整數開始，後來包括有理數、無理數。甚至認識到數線以外的複數。
一直以來也習以為常使用這些「數」。
是甚麼時候開始有這個意識去區分 quantity 和 magnitude呢？
是早幾年前，開始想去理解「第一次數學危機」開始。

還記得甚麼是第一次數學危機嗎？中學時老師也有提過。
古希臘的數學家認為(柏拉圖時代)，萬物階為數。
這個數是指正整數。我想是透過基本的四則混算，整數的加減乘也會得出整數。而除呢？得出分數。所以那時也承認整數之比，即有理數的存在。
但後來畢達哥拉斯學派(Pythagorean School)的其中一個信徒希柏斯(Hippasus)證明了一些數並不是整數，或整數之比。
這發現震撼了整個古希臘，史稱第一次數學危機。

中學時的我會問點解d古希臘人咁傻仔。
當時的我覺得(純是直覺的覺得，沒有甚麼理性根據)，存在有盡小數，就存在無盡小數。有循環的，就會有不循環的。無理數可以表示為無盡不循環小數，所以無理數的存在是理所當然。
就算以前不知道有這類數，現在知道了，便接受吧。危機在哪裏？純粹因為希柏斯在古希臘的偉大哲學家臉上噴灰？那太沒有風度。

後來才知箇中原因。深入去看，我想是和古希臘的「原子論」(atomism)有關。
單從數學來看，是一直以來古希臘人所發展出「比」(ratio)的概念，也依賴著「所有數皆是整數或整數之比」，而很多幾何命題的證明也依靠這些比的知識。如果「所有數皆是整數或整數之比」不成立，意味著很多幾何知識的根基也不可靠。
如何解決？
Eudoxus 修正了「比」的概念，把古希臘的幾何拯救出來。歐幾里得的幾何原本也中關於比的一章，據說很多材料也來自Eudoxus的知識。
以往古希臘的代數與幾可密一可分。但經此一役，醒覺到數(可數的量)與幾何量(量度的量)的差異，代數與幾何從此分家。

(本來這個題目我還有很多野想講，但想下想下，實在會有太多野寫下去，我想都沒有太多人有興趣去看，自己近來寫blog也很慢，沒甚麼心力去寫一篇長文。希望總有一天我會寫出來吧。)

(註：文中開首時我所提及我看的那本書是《質數魔力》(Prime Obsession)。)

城門谷

早幾星期前我又到城門谷公園一遊，我都幾鍾意行公園。


如此大條的水管，為甚麼不是埋在地底？？在光影下又幾特別。


今年城門谷公園內的荷花，像比往年較近岸邊。沒有甚麼遠攝鏡頭也能拍下大大朵荷花。




我覺得這種花很有生命力。
在夏天隨處可見，你有注意到嗎？
其實我以前也不甚留意，不知為何今年對她們特別留意。
想起公司附近有個小斜坡，長滿了這種花。有一天，工人來隨雜草，拿著機器剪阿剪，一整片也剷光了。
不過現在又長得很茂盛，幾星期前的浩劫像從未發生似的。


這麻雀很得意~~

7月11日

這天，我早上四時半便起床。
之前一晚在思考著一個難題，彷彿在夢中仍在思考。
醒來時看見時鐘原來只是四時多，本想繼續倒頭大睡，但腦中不知不覺又開始思考那難題，漸漸地便完全醒過來。

陽光開始由窗外射進來，很漂亮呢。
難題仍未解決。其實我根本沒想過可以解決得到，因為我連這問題是甚麼也未能足得緊，只是可以搞清一個大概罷了。

七一看電影

這個七一，我在戲院看了兩套電影，嚴格上來說，其實是一又三分之二套。

首先，去奧海城看九點早場的冰河世紀3。
近來我有舖癮去看須戴立體眼鏡觀看的電影。比起一般電影的票價貴幾十蚊，但官感上的刺激真是強得多。數數下，近大半年看了地心探險記、3d血腥情人節、天煞撞正怪怪獸、怪誕隨意門。
這套冰河世紀3，開場時我覺得有些悶，但往後越來越精采。不過正當入後部的高潮時，畫面跳了幾下，然後突然一下，只聞其聲不聞其畫。噢！奶野了……
職員弄了一會也不行，最後向大家宣布立體放映機壞了。
於是觀眾開始鼓燥……
不能退錢，但可以憑票尾在30天內免費再買一張奧海城任何場次的冰河世紀3立體版門票。
不過對我來說無乜用……唔想再入多一次場只為看個結尾。已把票尾送了給朋友。
有同事買了同日的下一場，我已事先通知了同事。在那一場，觀眾如常入場，但入到場後才通知觀眾放映有問題。不過和我所看的那場不同，這一場可以退錢。據聞觀眾反應很大，事關很多人專誠坐車來到，買晒爆谷汽水入場，這些點計？
我又唔會話奧海城無良，但佢只是做到最低最低，最起碼應要做的事情吧。香港這個社會，完全是商人拿晒著數。
係我眼中，要令到我滿意但又唔算屈佢機的做法，就係我果場應該要退錢，或者憑票尾購買任何影片(不止冰河世紀3)任何場次的戲票一張。短時間內額外抽時間看多次，對很多人來說算是折磨大於補償吧。而下一場退錢之餘應該有些小食部贈券之類的補償。講真，唔係為左睇戲邊有人會係戲院買爆谷汔水？你一早知道無片播比人，但為左唔想觀眾係你門口鼓燥影響生意，扮無野呃左觀眾入場，仲呃埋觀眾買爆谷汽水，大家可以高呼「真不該」吧！

之後去朗豪坊看了巨乳排球中午場。衰衰的片名，但其實這是一套日本勵志片。
看日本電影、動畫，成日都覺得日本人很熱血。真實的日本人又是否如此熱血呢？
這類日本片的模式，通常也是搞笑+熱血，來過感人位，然後大團圓結局。
不過我覺得這套的感人位不夠感人呢。
是因為我太冷血？


近來放假的日子通常也不好天，很難得放假有咁好陽光。
在陽光燦爛的日子，垃圾桶也突別醒神，像向世人高呼：「我不是垃圾」。

接下來的星期日，據天氣預報又是下雨天，唉……

Square root of 2 to the power of square root of 2

最近讀到一個令我幾迷惘的數學證明。迷惘的並不是它涉及甚麼高深的數學知識，其實只須具備初中有關指數和無理數的知識便可看懂。迷惘在於我看完個證明，好像甚麼也沒有得到似的。

看這證明之前，看看以下問題。

設 a 和 b 為無理數。下列各數式是否必定為無理數？
1. a+b
2. a-b
3. a*b
4. a/b

四條的答案都是否。相信大家也很容易舉出例子吧。
例如設 a=b=sqrt(2)，那麼2,3,4的結果很明顯是有理數。
但這個數式又如何呢？
a^b (a 的 b 次方根, a to the power of b)
我想不出答案來。書本上提供了一個很簡潔的證明：
(首先，大家都不會質疑 sqrt(2) 是無理數吧？不相信？網上你會找到很多資料，我不多講了。)
如果 (sqrt(2))^sqrt(2) 是有理數，那麼我們便即找到無理數a和b(即a=b=sqrt(2))使a^b是有理數。
如果 (sqrt(2))^sqrt(2) 是無理數，設 a=(sqrt(2))^sqrt(2), b=sqrt(2)
a^b
=((sqrt(2))^sqrt(2))^sqrt(2)
=(sqrt(2))^(sqrt(2) * sqrt(2))
=(sqrt(2))^2
=2
即a^b是有理數

證明頗簡潔吧？我們證明了存在無理數a和b使a^b為有理數。
但我總覺得欠缺了些東西，就是看罷證明後，我也不能舉出一個實在的例子來印證。
多年來我是否首次遇上這種證明的技巧？我不清楚。
可能讀大學時也會遇過，不過或許涉及的東西我不太感興趣，所以也沒有去深究。
但這個對象是有理數和無理數，中學時代也有接觸，我們也常常用到，因此引起我的注意。

一直以來我都覺得「證明到要證明的東西」不是證明的最主要功用，不過這個例子實在太極端了。除了證明到要證明的東西，這個例子可說是毫無建設性。

如果有人用以上形式建構出以下證明，你有甚麼想法？
如果神存在，那麼abc...
如果神不存在，那麼xyz...
因此，神是存在的。




神，在哪裏？

鉛筆

「唔好寫得咁深色呀，好難刷呀。」
印像中，很多人都覺得深色的鉛筆痕是很難刷掉。真的嗎？
其實並不是因為顏色深，而是因為筆痕深所以難以刷掉。
筆痕深的話，碳粉蝕入紙張。使用刷膠時刷膠不能接觸到碳粉當然難以刷掉。
拿一枝6H的碳筆在紙上一畫，畫出來的線條顏色淡，但筆痕可能很深。因為6H筆的硬度高、黑度低，所以只要輕力便畫出深深的筆痕。而拿一支6B的碳筆輕輕一畫，便可畫出顏色很深但筆痕很淺的線條，這是因為6B筆的硬度低、黑度高。相信你要刷掉6B筆的那些深色線條會較6H筆易。
當然你拿同一款的鉛筆來比較，深色的線條自然較難刷掉，哇哈哈哈哈哈)))))))))

解

上一個題目，我還未想得出一個不用計算的答案。
以下是我的計算答案：

先考慮黑色部分，它可分成內、外兩部分。



看看外部，把它分拆重組，可得出兩個圖1般的圖形。
而內部，很明顯是由四個圖2般的圖形組成。

再考慮原圖，用畢氏定理，我們可發現圖1和圖2的正方形邊長之比是 1:sqrt(2)
(看不出來？設原圖紅色圓形的半徑為 sqrt(2)。sqrt(2) 即是 positive sqare root of 2, 2的正平方根。)
知道這個比是很重要的。由於圖1和圖2是相似圖形，所以面積之比即是邊長之比的平方。因此圖1的面積是圖2的面積的2倍。
外部有2個圖1，內部有4個圖2，因此內、外的黑色部分面積相同。

仍是考慮原圖。設大正方形的邊長為2。很明顯，正方形面積減圓面積便可得外部黑色部分的面積。
因此外部黑色部分的面積是 4-pi
而內部黑色部分的面積也是4-pi
所以黑色部分總面積是8-2pi

紅色部分的面積呢？
把圓面積減去內部黑色部分的面積便可求得。
即是 pi-(4-pi) = 2pi-4
因此，黑色部分的面積:紅色部分的面積是
(8-2pi) : (2pi -4)
紅色部分面積較大

方中有圓

今天同事問我一道題目，是取自TVB週刊：

圖中黑色部分所佔的面積還是紅色部分所佔的面積較大呢？

當時我想了三四分鐘也想不出答案。那時我直覺上覺得這類八卦雜誌的IQ題，應該不須太多數學知識，當中必定有些巧妙之處，不用運算便能「看」出答案，例如從圖形的拼砌入手。但想了一會我還未能想出來。

實在不服，還是用數學方法吧。放工乘車途中，我心算不用兩分鐘便計出黑色部分和紅色部分的面積之比的真確值了。當中涉及初中圓面積和比例的概念。

問題雖然解決了，但內心仍然覺得當中是有一個既巧妙又漂亮的方法，只是我未能想出來。
我這種想法實屬迷信，太不理智了，但我仍在思索中 -___-

大家會否覺得奇怪，我說「初中」圓面積和比例的概念。無錯，現今香港的數學課程，這些圴屬初中課程。

與我差不多年紀的朋友會否覺得奇怪？圓面積和比例我們在小學時已學過了。

奇實我也覺得奇怪，特別是圓面積。

現在小學依然會學正方形、長方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，但是圓面積則排諸於外。其實不算是太難吧？就算現在初中來學，也不是從甚麼嚴格論證出發，只是從直觀入手。大家當年看兩看 ETV，也很容易接受圓面積=pi*r^2吧？

比例在小學則較難處理。

記得小學時學比例，不是正規書本上的內容，只是學能測驗的推理題須用到比例，老師因而教授。當時我留意到一個怪現像。

話說小學年代我和臭機在數學科的成績可算是叮噹馬頭，大家的數學測驗考試也近乎滿分。但在做那些比例的推理題時，臭機竟然炒粉，但我又唔覺得是甚麼大問題。那時我不知是何固。

十幾年後回想起來，其實都想到一些原因。那當然不是因為我數學能力比他強，反而是恰好相反，其實是他比我認真得多吧。當時我其實沒有怎樣想過當中的概念，只是全盤接受老師教導，把比當成分數處理。那個冒號看成分數線，左邊的數當分子，右邊的當分母。我就是這樣去做那些題目。

人大了回想起來，如果我們認真去思考比的概念，實在幾難搞。當中涉及把現實的量去抽像化處理，與一般小學生的習題很不同的。

雖然老師口中話當分數做，但細心去想其實大家會有不同之處。
例如：
6個橙的2/3，是4個橙。
5個蘋果的1/4，是5/4個蘋果。
留意，橙依然是橙，蘋果依然是蘋果。

但比又如何呢？
甲有5個橙，乙有10個橙，甲的橙比乙的橙是 1:2。
甲有12個橙，乙有24個橙，甲的橙比乙的橙是1:2。
兩個情境的數目完全不同，但考慮比時，他們是一樣的。
再來看看：
甲有24枝顏色筆，乙有48枝顏色筆，甲的顏色筆比乙的顏色筆是1:2。
看到嗎，這次考慮另一種對像，但我們仍是用「1:2」來代表。
只是簡單地不用單位相除便可？也不是呢。
例如：
甲有4個蘋果，乙的顏色筆長8cm。
我們不可把蘋果數目和長度來「比」。
幾時得幾時唔得？
點解得點解唔得？
點解不同的對像可以歸約成同一個形式來表示？
這些那些
實在太多太多問題要處理。

一係就抱著我當時的讀書態度吧，老師話係咁就係咁。咁樣做就煩少好多。

教育的理念不是想培育應聲蟲吧，但偏偏我們的社會就是想所有人也是應聲蟲，甚至是僕人，對上頭不會say no的奴才。

突然想起友人的一句話：
這個社會需要乜野人，我們的教育就是提供這類人。

從三角形內角和說起

由小學起，我對數學科不是太感興趣，但也不覺得討厭。小學時我覺得數學是一科不須太用功也能得到高分的科目，其他科在考試前我也會拿本作業出來溫習，因為考試題目絕大部分也是作業的內容。

小學時的數學，大多是學習運算技巧，如四則運算，或者公式的運用，如面積、周界的公式。較令我頭痛的，是方程、速率，以及工程問題吧 (工程問題即是水管甲用咁多時間能注滿一缸水，水管甲和乙一齊運作就要咁多咁多時間，求水管乙獨立運作時注滿一缸水的所須時間這類問題。)，不過最終都能克服。那時我曾天真地認為如果考試可以用計算機，每次考試也必能取得滿分。

到中一，有段時間覺得讀數學都幾悶。大部分內容其實小學也學過，只是轉用英文，不斷要背生字。上數學堂也要默書，這是英文堂嗎？直至開始接觸幾何，學到「三角形內角和」( Angle sum of triangle )，才令我覺得數學課多了一點趣味。

三角形內角和這個初中所學的幾何定理，我想大部分人還記得吧？

在平面三角形中，
若a、b和c是三角形的內角，
則 a+b+c=180度。

當年，這個定理令我十分震憾！
它不是告訴我某一特定的三角形的內角和是180度，而是在任意一個三角形都有這個特性。無論你怎樣繪畫，怎樣拉扯你的三角形，只要是一個三角形，內角和必定是180度！

太神奇了，像是魔術般。那時我覺怎可能呢？當時的我覺得一個量的改變引致另一個量的改變是理所當然的，但在這個情況下，一個量 (其中一個內角) 的改變，會引起另一個量 (另一個內角) 的改變，但它們的改變中竟然會使再另一個量 (內角和) 保持不變，實在不可思議。

學習三角形內角和之前，我們也會先學習「直線上的鄰角」(Adjacent angles on a straight line) 和「同頂角」(Angles at a point)。這兩個定理其實也和三角形內角和有類似的效果，就是指出了幾個量的變化是有一定規律 -- 變化會引致不變量。不過這兩個定理不能帶給我任何震撼，因為實在太明顯，直觀上一眼便看得出來。一個蛋糕你把它切開，再拼合，你不會質疑拼合出來的會和原來的不一樣。但三角形內角和，我就不能一眼看得出來。

小學時有類似的情況嗎？其實是有的，那就是反比例，但情況略有不同。反比例的情境中，都是人為設定下得出這個關係，這個不變量是人為安排的結果。而三角形內角和就像是上天安排下的奇妙性質。

我也頗喜歡中學的幾何課。當時覺得和小學的幾何有很大分別，但也說不出是甚麼分別。以現時我的「生字」，小學的幾何課是學習「圖形的量度性質」，中學的是學習「幾何量之間的關係」。

往後的中學數學生涯，我也很留意三角形的其他漂亮特性，如「畢氏定理」、「三條中線交於一點」等等。

震撼還震撼，但我在那時只停在三角形內角和的階段，在學習「多邊形內角和」(Angle sum of a polygon) 之前，我未曾想過三角形外的多邊形，如四邊形五邊形等，它們的內角也會有一個漂亮的關係。這實在不是學習，尤其是學習數學的好態度，實在慚愧。

或許我對數學，是欣賞多於鑽研吧。

五角星

由小時候開始，我一直也為五角星而著迷。
我覺得這個圖案很漂亮，很特別。
正五角星就更為對稱，但就算不是正的，也很漂亮。
很細個的時候，見到這個圖案，不奇然便拿起紙筆嘗試畫出來。但怎樣畫也不漂亮，內裏太多線條了，很複雜呢。
後來媽媽向我展示以下畫法，我想很多大人也會的。但在你們小時候，又是否一看到這個五角星圖案就想出這個美妙的畫法呢？我就不能了。

那時我覺得實在太奇妙！線條如此複雜的圖案，竟然只須用五條直線便可畫出來，這五條直線還可以筆不離紙地畫出！太神奇了。

之後我又想，這種漂亮的畫法，在其他星狀圖案又是否可行呢？
先來六角星，我試來試去也不行，較為漂亮的畫法是畫兩個重疊的三角形吧。有沒有更漂亮的畫法呢？我就不懂了。
八角星、十角星……等等 (n為不少於6的偶數的n角星)，也可以用類似的方法畫出來。


七角星又如何？試了一會，終於成功。用類似畫五角星的方法是行得通，不過當中的角度較難掌握。
九角星、十一角星……等等 (n為不少於5的奇數的n角星)，也可以用類似的方法畫出來。
很多人都懂得畫五角星。我一直以為也有很多人懂得這樣畫七角星，但原來並非如此。記得高中時，我曾向一個都幾醒的同學展示這樣畫七角星，他露出了一副驚訝的樣子！像是見到一件新玩意似的。之後也問過一些人，有些人都懂，不過原來很多人也不懂呢。或者咁講，很多人也沒有想過這東西。這東西太無聊吧。

柏拉圖立體2

上一篇有關柏拉圖立體的文章，提到古希臘人發現只存在五種柏拉圖立體。沒有多，沒有少，恰好是五種。你有沒有想過當中的原因呢？

看看我的思想實驗吧。

還記得我所提的柏拉圖立體的定義嗎？每個頂點都是由相同數目的面相交而成。就由這個資料出發。

下圖我嘗試把所有可能情況窮舉出來：

圖中圓點代表多面體的頂點。
由等邊三角形面開始，然後是正方形，跟著是正五邊形，再來是正六邊形。
很明顯，只有一或兩個面是不能相交成多面體的頂點。
因此，圖 1, 2, 7, 8, 11, 12, 14, 15 可以剔除。
圖 6, 10, 16，那幾個多邊形面剛好填滿平面，不能「屈成」一個立體的角，可以剔除。

可不可以有一個頂點由七個或以上的等邊三角形面組成嗎？剪張紙試試，你會發現不能屈起成一個立體角。
同理，四個或以上的正五邊形/正六邊形面，都是不可行。
三個或以上的正 n 邊形(n>7)也是不可行。

剩下哪幾個圖？就是 3, 4, 5, 9, 13
看！他們正是分別對應於正四面體、正八面體、正二十面體、正方體、正十二面體，這五種柏拉圖立體的結構。無錯，就是只有這五種，無多無少。

這個思想實驗，不是甚麼嚴謹證明，但我想大部分人直觀上也可以接受。例如「不能屈成一個立體的角」，直觀上也很易接受吧。

我第一次看這命題的證明，是要用到歐拉公式再加上窮舉法得出來。但其實要嚴謹證明歐拉公式，我也不懂。反正要窮舉，有沒有可能窮舉得易明一些？就想出這個思想實驗。

誤解

今天在短短一小時內，我察覺到自己對兩件事物的誤解。

1.
我一直以為麥當勞的「足三兩」，即是「至尊漢堡」。
今天在麥當勞門口的海報看了很久，覺得這個足三兩和我以前食的至尊漢堡外貌看來有些不同。入店內一看那照片，果然是不同的。於是叫了一個足三兩一試，味道和芝士漢堡沒甚麼分別，只是牛肉較大塊吧。
我覺得至尊漢堡較好食呢。多些汁吧！肉汁較多，而且多些蔬菜較爽脆。
點解我會有這種誤解？可能因為兩者都是以大塊牛肉作為賣點吧。

要食好食的漢堡飽，當然不是去麥當勞。我食過最好食還是 Burger King，不過香港只得很少分店。Freshness Burger 也不錯。 Mos Burger? No way，我覺得都幾難食。以前 Wesley 車我地去食的紅磡時新也不錯，港式口味，另一番風味，更重要是扺食！一個好似十蚊左右，但和麥記十蚊一個的相比，實在好食幾十倍。近來聽過很多人推介，在中環的 Pro Burger 我都想去一試，聽講好熱氣，但好好味，不過價位仲貴過Burger King些少。

2.
食完麥記，我的八達通已經負資產，不過我有自動增值的。入閘前，突然閃過一個念頭：如果我今天已自動增值了一次，那就不能再自動增值了。那麼我入左閘咪出唔到閘？
你們看到我的問題嗎？
大家都知道用八達通是出閘才扣錢，於是我就直覺以為扣錢那一刻才會自動增值。原來實情並非如此。
我一o都，入閘機發出一種特別的音樂，表示我的八達通剛自動增值。
想深一層，其實我都幾戇居。唔係每個人都有使用八達通自動增值，負資產時入到閘但又無錢出閘，咁咪好麻煩？ 為了減少不便，應該設計成負資產不能入閘吧。但有自動增值的，就在入閘那一刻增值，那麼大家也方便吧。
但那一刻點解我會有一個咁戇居的諗法呢？

柏拉圖立體

凸(convex)正多面體(regular polyhedron)，又稱為柏拉圖立體 (Platonic solid)。遠在二千多年前，古希臘人已發現只有五種凸正多面體：正四面體(regular tetrahedron)、正方體(cube)、正八面體(regular octahedron)、正十二面體(regular dodecahedron)、正二十面體(regular icosahedron)。

不清楚他們的面貌？到 wikipedia 一看吧。既然稱為柏拉圖立體，當然與古希臘哲學家柏拉圖有些關係，我不在此述，有興趣也可看 wikipedia。
http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

是不是很漂亮呢？各柏拉圖立體中，每個面都是相同的正多邊形，但別搞錯，這個不是柏拉圖立體的定義。有些人就是被這個漂亮的特性深深吸引，以為每個面都是相同的正多邊形的立體就是柏拉圖立體。

試想像一個立體，它是由兩個正四面體沿一面相接得出來，見下圖。



別弄錯，這個立體不是正八面體。它只有六個面，而每個面都是等邊三角形。

它每個面都是正多邊形，但看上去美感及不上那五個柏拉圖立體，究竟是何固？

美，總有原因吧。這是因為柏拉圖立體很對稱。

立體上的對稱，要以量化的角度來說可以十分複雜，那些甚麼對稱群我也不懂，但兩千年前的希臘人也不懂呢。他們可以欣賞柏拉圖立體的美，我相信不會單單是一種感覺，而是有一套確確實實的語言去描述這種美。古希腦的哲學家可不是一群只懂吹水的窩囊廢。

我不知那時他們怎樣描述，我用我的語言去描述吧。

任何多面體的結構，都包括三個部分：頂點(vertice)、棱(edge)、面(face)，就由這三部分入手。

關於面，前文已述，每個面都是相同的正多邊形。假設你身處其中一個柏拉圖立體，無論你身處哪一個面，周圍也是一樣的。

而頂點和棱呢？
每個頂點都是由相同數目的棱相交而成。
正四面體：每個頂點都是三個棱的交點
正方體：每個頂點都是三個棱的交點
正八面體：每個頂點都是四個棱的交點
正十二面體：每個頂點都是三個棱的交點
正二十面體：每個頂點都是五個棱的交點

又可這樣說：每個頂點都是由相同數目的面相交而成。
正四面體：每個頂點都是三個等邊三角形相交而成
正方體：每個頂點都是三個正方形相交而成
正八面體：每個頂點都是四個等邊三角形相交而成
正十二面體：每個頂點都是三個正五邊形相交而成
正二十面體：每個頂點都是五個等邊三角形相交而成

在某個柏拉圖立體，無論你站在那一個頂點上觀看，四周的風景也是一樣！

這特性，在我所畫的「六個等邊三個形面的多面體」上是沒有的。那立體，有些頂點是有三個棱相交，有些則有四個。

還有一個性質，不過這個與前面兩個的性質有些不同，這特點嚴格上來說你是要經過計算才可得到，不過直觀上也不會有人質疑：任何兩個相交面的夾角都相等。

事實上，我們需要兩個條件才可清楚定義柏拉圖立體：
1.每個面都是相同的正多邊形。
2.每個頂點都由相同數目的面相交而成。

數學上，除了柏拉圖立體，還有一類立體是用希臘人的名字所命名，那就是阿基米德立體 (Archimedean solid)，一共有13種阿基米德立體。圖請看 wikipedia 吧：
http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid

驟眼一看，大家也會發覺阿基半德立體不像柏拉圖立體般對稱。
嘗試用我之前所述的欣賞方法去觀察阿基米得立體，你便會知分別在那裏。

讀到此處，你已清楚理解甚麼是柏拉圖立體，以及實實在在去欣賞這類立體。

我覺得學習一樣東西，不應該只學他的名稱，那有甚麼意思。對於幼稚園、小學生，這還可以，因為我們需要一些字詞去表達我們的意思。但踏入中學後，還可這樣學習嗎？學完這幾個名，然後把摺紙圖樣剪出來製作立體，這就算學了？

香港無人不識曾蔭權這名字，但有幾多人認識曾先生？

只學那名字，稱作柏拉圖立體也好，還是死肥仔立體也好，那又有甚麼關係？

老婆大人

近日間中也會收看電視劇老婆大人2。
最近葛國光撞親個腦有瘀血，性情大變，脾氣十分暴躁。遇上一些看不過眼的事情，就會大發雷霆把別人教訓一頓。例如看見別人在公共地方抽煙，就去罵人一頓。隨街丟垃圾的垃圾蟲，當然不放過。排隊打尖？當然不行啦。
但在這個社會，如此直斥其非，當然會遇上不少麻煩，一日內去了幾躺差館……
究竟點解？道理明明係我果邊，明明我是對你是錯，為甚麼指出你的錯反而我要惹上麻煩？
我都想好似葛國光咁，有乜講乜，得唔得罪人完全唔駛理。明明係大是大非，點解要讓步？
道理明明在我手，點解要忍氣吞聲聽你鳩 up。(鳩 up，音「鬥 up」，權威的曾先生在立法會上都咁講，官方話唔係粗口架)
但這個社會就係咁，為左要迎合一些人的需要/方便，就要讓步。
大是大非？傻啦，沒有是非。把它模糊化！
六四無死人
南京大屠殺沒有發生
現在無人信唔緊要，只要不斷重複，在社會上留下這聲音，事實只會越來越模糊。甚至有一天大家也習非成是吧。
迫切？轉移視線吧，有更迫切的事情要做呢。
先救災，後問責。問責？無呀，乜責呀？豆腐渣？在哪兒呀？乜來架？豆腐舖有得賣？多少錢一斤呀？
2012?2017?首要任務是要搞經濟。經濟好果陣搞經濟，經濟差又係搞經濟。
哈哈哈，拖得幾耐得幾耐，過左海就神仙，反正往後也未必要我去理。
不似人話的官話，就是最好聽吧。
明明說得清清楚楚無爭拗，但有人可能係無知可能係別有居心，就是要去拗。說得模棱兩可就最好吧？係咩？我係咁講咩，唔係呀，其實咁即係咁咁咁。留多d空間，A君有A君的詮釋，B君有B君的理解，想點就點，迎合所有人，皆大歡喜。是非對錯？別傻了，觀點與角度jei。
正所謂多做多錯，少做少錯， 跟大圍去做，有錯就齊齊錯。無謂懶有性格。
1905年，同人講質量會隨速度改變，大部份人都會話荒謬。1915年同人講光會走曲線，空間會彎曲，人人都會當你係痴線佬。愛恩斯坦就係這個比人話荒謬的痴線佬。
成日講甚麼創意，發展創意工業，得咩？因為有能力扶助或踩死你的人，根本無這個心態。這個社會沒有這個氣氛。一個死氣沉沉的社會。偶有佳作，但無以為繼。
問題：當「方便」遇上「對錯」這個兩難，大家應走向哪一邊？
老師當然話比你聽是非行先，但其實老師都唔係咁做人。
做學生的，無人話過知識係垂手可得，學唔識難道自己沒有責任？係老師欠左你？入唔到U就係政府欠左你？
做老師的，無人話過傳授知識係一件輕鬆簡單容易的工作，遇上困難的概念就避之則吉任由學生自生自滅？
四圍都係咁，捨難取易，人之常情？
是非？乜野係是非？
做正確的是都要受教訓，這套電視劇真是教壞細佬。
很痛，一刀一刀插入我心，血不斷在流。
怪甚麼？因為我是小賤民，根本沒有質疑的資格。

代價

如果做任何事情也不用付出代價，是不是人人都會視無忌彈，有恃無恐，想點就點？
我諗都係。

物理學上的XX守恆定律，實在正確。XX物理量會守恆，但是我們要注意，這個守恆不是在局部地區發生，而是就一整個系統而言的。

真的可以不用付出代價嗎？當然不是，只是其他人為你付出吧。

不過現今各階層各行各業，人人都很自私。唔關我事，做乜要理，他日有問題留待他日別人去理吧。繼續想點就點，自己不知幾爽。

小時候讀書，不是說甚麼人類是群體動物，要互相幫助。就算現今教育局所謂的九個共通能力：協作能力、溝通能力、創造力、批判性思考能力、運用資訊科技能力、運算能力、解決問題能力、自我管理能力及研習能力，也認同合作的重要性。

但實際上這個社會的合作，指的是甚麼？有權有勢的又怎會同賤民合作。賤民，就是用來做替死鬼，死不足惜。

哈哈哈)))))

我都想乜都唔理，唔理其他人，自己想點就點。不過做唔出吧，也沒有這個 Power 咁做。

H1N1

早上讀報，世衛把「豬流感」改稱「H1N1甲型流感」，以免令人誤會該病是由豬隻傳播。
晚上曾特首記者會，依然左一句豬流感，右一句豬流感。看樣子他是在讀稿，寫稿人唔知，佢又唔知，咁多高官都唔知？

Cake

我對士多啤梨沒有甚麼特別喜惡，但看見這個滿佈士多啤梨的生日蛋糕，實在令我興奮。這是一個充滿正能量的生日蛋糕呢。
購於東海堂，價值$135，以恆生信用卡結帳有八折。

Fox's Glacier

大家有沒有食過霍氏糖？那是果汁糖，在超市大約十五蚊一罐。


這種黑色包裝的霍氏糖，是同事由英國帶回來的手信。


來個大特寫。


白色的也是英國來的手信。


味道如何？
打開包裝紙，白色的和香港購買的外表上差不多，不過香港所買到的包裝紙是透明的，不用打開便可知道是哪種果汁味，這個英國的則要打開了才可知道。而味道上我覺得英國的較好吃，那種甜感覺上較自然。香港的就太「濃」太「糖」了。
而黑色的，打開後粒糖也是黑色的。而味道……是怪味。
我覺得像「寶治靈」(不知甚麼是寶治靈？新聞有賣，那種用來搽痱滋的藥膏呀！)
有同事話似花焦八角。花焦八角，用來炆牛腩的香料呀。
查一查成份，有一種叫 Aniseed 的，原來正是解作八角。
味道實在怪得很，或者無人expect糖果是這種味道吧。

小黃花

這個季節，經常也可看到這種小黃花。
這一朵一枝獨秀立在草叢中，十分醒神。

早餐

今天食了一頓很難食的早餐，那就是麥當奴新推出的香脆雞扒早餐。
看見那海報，令我想起以前 KFC 那個雞扒早餐，那雞扒真係幾好食。
但麥當奴這個真是差得大遠，那雞扒連一滴肉汁也沒有，咬下去，口感覺得很霉。味道就得個喊字。
奉勸各位，千萬勿試。

4月17日

這天一覺醒來，窗外的畫面像是塗上了一層墨水。


太陽一出來，又是另一番景像。

無乜心情寫野。
好多野想講，但講又點？

4月16日

遠方正在放晴，但我的頭頂仍是厚厚的雲。


一會兒後，已經看到藍天與白雲。天氣變化真快。


你知道嗎？我未坐過飛機。

4月15日

今早的天色，殺氣很重。


這個世界……

猷猷真很得意，經常也笑得咁開心。眼神像對世界充滿好奇。希望你長大後也是一個樂天開朗，對世事充滿好奇吧。

青衣公園

在青衣公園行了一會。


看見水牌上有「野餐區」，心想一定是一大片很舒服綠油油的草地供遊人野餐之用。來到一看，原來只是幾套桌椅。


這幾片葉子像是一家人。

Cyberport

2009年4月11日，第二天復活節假期，閒極無聊，獨自來到這個由謊言築成的鬼地方 -- Cyberport。
它的名字叫Cyber，但究竟Cyber在哪裏？算啦，香港很多地產項目也是名不副實，最緊要是夠 Gimmick 吧。


海天相接的無敵海景，一流吧。


這座銅像很可憐，被丟在一旁，表面亦開始氧化，等待死亡？


這幾座是寫字樓和商場。


有不少遊人來到這兒效遊呢。我見到有一班中學生來野餐，舖塊布，上面擺滿食物，很開心呢。說起來，我也不知有幾多年未試過野餐。


這兒是豪宅。




House 屎又怎可缺少呢。

很明顯，是地產為主吧。
那些寫字樓望住個海，租金應該很貴吧。我想電費更貴！落地玻璃，但西斜呢！夏天要多多冷氣也不夠。

愉景灣

這個復活節假期我實在無聊得很。乜都唔想做，只是無無聊聊地過。
之前聽同事說，愉景灣搞了一個活動，是比一大班小朋友在沙灘上掘復活蛋。於是第一日復活節假期我便走了入去逛逛。


愉景灣沙灘。活動尚未開始，遊人較少。活動開始後就擠滿人了。


廣場內也有不小設施供兒童玩耍。


碼頭附近的小花。




海灘附近的仙人掌，很巨型呢。


一聲令下，小朋友就在沙灘上掘呀掘。同事的女兒在場內四圍走，也不知走了去哪兒。

這一天愉景灣廣場附近實在迫滿人，人群密度和旺角差不多。我是乘地鐵到欣澳轉乘單層巴士入去，巴士站都幾多人，我等了兩架巴士，還要是企位。也幾貴，車程約十五分鐘，但車資要 $9.1。但也無辦法，好似只有欣澳、東涌和機場有單層巴士入去。一係就在中環乘小輪，這方法更貴！

入來時我覺得很得意，車子是要穿過一條隧道才入到去愉景灣。就好似桃花園記，走進世外桃園般。

雖然人群眾多，但與旺角不同的，這個廣場內都是一家大細，很少機會在這咁細的地方見到咁多家庭咁多小朋友吧。d小朋友係到玩得好開心咁。

唔知係咪現在很多也是獨生仔女，寵壞了，這日見到有不少小朋友也很霸道很自私。例如在廣場內砌積木，那兒放了一些積木以供玩樂，但不用排隊之類的，隨地拾起便可拿來玩。我看見一位小朋友 (小朋友A) 在地上拾起一塊，但突然間我聽到一聲「咆吼」，另一個小朋友 (小朋友B) 就用力從小朋友A手中把積木搶過來，並且很惡咁大叫「做乜搶我d野玩」，接著小朋友B的家長又行埋來話小朋友A「搶人d野玩係唔arm架」，嚇到小朋友A跑開了。

甚麼是「我的玩具」？會方不是任人玩嗎？一塊放在地上無人玩的，拿來玩叫做「搶我d玩具」？你比左錢買架？家長又竟然對自己孩子的這些舉動視若無睹？那小朋友B的「咆吼」並發惡鬧人的行為，我也為之驚訝！但那家長竟然可以繼續縱容這種行為，或者家長本身都不當甚麼一回事。這個社會，很多大人也如是吧。生人霸死地，不反省自己的問題，把所有惡果也歸究外在因素，做得好的就係自己本事。很多大人都係咁架啦，這是香港病吧。看來我們的下一代也會盡得真傳，甚麼毒男港女，下一代定必發揚光大！

這個找復活蛋的比賽，是有分年齡的，好似是三至四歲一組，五至六歲一組，七至十歲又另一組。我看了兩組的比賽。三至四歲的一組，可以由一名家長陪同。我見他們玩得很開心呢！同事的女兒是五至六歲一組，這一組就多人得多。場內擠滿小朋友，一聲令下，很多小朋友也落力咁掘呀掘，塵土飛揚，與之前一組實在分別很大。好似很多大人咁驚死執輸。有些甚至搶別人的！也有些十分粗爆，把沙撥得高高的，弄到別人的雙眼！唉，幸好同事的女兒並非如此，也沒有被別人弄傷。

真不敢想像，下一場七至十歲會怎樣，也不想去知。

我們的下一代，社會未來的主人翁，究竟會變成怎樣？



在廣場閒逛，竟然見到這個有趣的餐牌。甚麼是「?仔醬」？價錢竟然是$xx。x是未知數？要用哪方程解得x的值呢？哈哈哈。


之後散水lu。難得同行的另外兩個傻人不嫌我做電燈膽，於是就三個傻人在愉景灣閒逛。其實他們之前拍拖也來過吧，只是見我無聊便帶我走走？真是多謝你地。


從愉景灣消防局走出來的，竟然不是消防車，也不是救護車，而是大貨車呢。哈哈哈)))


路邊也修飾得很企理。


這條小徑很特別，留意下那樹蔭，很得意呢！像是 Gary 的髮型，哈哈哈))))


路邊的小花~~~


行行下，竟然見到一隻小鞋子~~


住在這兒，應該很舒服。


要住這些房子，相信要中很多很多次六合彩才行。


水鳥？假的。




綠油油，很舒服。


我到此一遊。


天色開始黑，回程lu。


又再走過這條特別的小徑。


另一邊的 House。

三個傻人，由廣場走去中央公園，再返去廣場。離開廣場，簡直到了另一個世界，人流稀小。大多是外國人。有的在悠閒散步，有的推著嬰兒車帶小朋友曬太陽，有的在放狗，實在是很寫意的生活。環境實在一流，但這兒的單位全都過千萬吧。要成幢house連花園咁買，唔知要幾錢呢？

夜了，無謂阻住人撐台腳。我去食自己。

衣夾

有時覺得自己連衣夾也不如。

Mean Value Theorem

中學純數，以及大學微積分課程，我也學過 Mean Value Theorem:
If f(x) is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), then there is a c in (a, b) such that

f'(c)= [f(b)-f(a)]/(b-a)

它的幾何意義，就是說出若 y=f(x) 是區間 [a,b] 上的一條圓滑曲線，則存在一點 (c, f(c))，在該點上的切線斜率會等於連接 (a, f(a)) 和 (b, f(b))的直線斜率。



此外，還學了一個叫 General mean value theorem:
If f(x) and g(x) are continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), then there is a c in (a, b) such that
f'(c)[g(b)-g(a)] = g'(c)[f(b)-f(a)]
幾年來，我一直也想不出它的幾何意義，證明時又要砌多一個函數來搞。
近日看了一些幾何書籍，搞幾何時多數不會用 y=f(x) 的形式去表示曲線方程，而是用參數式 ( x(t), y(t) ) 來表示。

用參數式去看 mean value theorem 的幾何意義，所得的數式不就是 general mean value theorm 的形式嗎？

大一 calculus 已是多年前的事，現今才知道這個意義，看來我真是無乜料。

人又不夠勤力吧。想出這個意義後，我上 wiki 到看看，原來也有記述這個詮釋。勤力d睇多幾本書，或者我已經一早知道。

遲就遲d，但自己親手解決多年的疑惑，是一件十分喜悅的事情。

Lemon Tea

To Joyce and Wesley
特價呀，$13.5 有 6+1 盒，去掃貨啦。
地點：佳寶超級市場