柏拉圖立體2

上一篇有關柏拉圖立體的文章，提到古希臘人發現只存在五種柏拉圖立體。沒有多，沒有少，恰好是五種。你有沒有想過當中的原因呢？

看看我的思想實驗吧。

還記得我所提的柏拉圖立體的定義嗎？每個頂點都是由相同數目的面相交而成。就由這個資料出發。

下圖我嘗試把所有可能情況窮舉出來：

圖中圓點代表多面體的頂點。
由等邊三角形面開始，然後是正方形，跟著是正五邊形，再來是正六邊形。
很明顯，只有一或兩個面是不能相交成多面體的頂點。
因此，圖 1, 2, 7, 8, 11, 12, 14, 15 可以剔除。
圖 6, 10, 16，那幾個多邊形面剛好填滿平面，不能「屈成」一個立體的角，可以剔除。

可不可以有一個頂點由七個或以上的等邊三角形面組成嗎？剪張紙試試，你會發現不能屈起成一個立體角。
同理，四個或以上的正五邊形/正六邊形面，都是不可行。
三個或以上的正 n 邊形(n>7)也是不可行。

剩下哪幾個圖？就是 3, 4, 5, 9, 13
看！他們正是分別對應於正四面體、正八面體、正二十面體、正方體、正十二面體，這五種柏拉圖立體的結構。無錯，就是只有這五種，無多無少。

這個思想實驗，不是甚麼嚴謹證明，但我想大部分人直觀上也可以接受。例如「不能屈成一個立體的角」，直觀上也很易接受吧。

我第一次看這命題的證明，是要用到歐拉公式再加上窮舉法得出來。但其實要嚴謹證明歐拉公式，我也不懂。反正要窮舉，有沒有可能窮舉得易明一些？就想出這個思想實驗。

誤解

今天在短短一小時內，我察覺到自己對兩件事物的誤解。

1.
我一直以為麥當勞的「足三兩」，即是「至尊漢堡」。
今天在麥當勞門口的海報看了很久，覺得這個足三兩和我以前食的至尊漢堡外貌看來有些不同。入店內一看那照片，果然是不同的。於是叫了一個足三兩一試，味道和芝士漢堡沒甚麼分別，只是牛肉較大塊吧。
我覺得至尊漢堡較好食呢。多些汁吧！肉汁較多，而且多些蔬菜較爽脆。
點解我會有這種誤解？可能因為兩者都是以大塊牛肉作為賣點吧。

要食好食的漢堡飽，當然不是去麥當勞。我食過最好食還是 Burger King，不過香港只得很少分店。Freshness Burger 也不錯。 Mos Burger? No way，我覺得都幾難食。以前 Wesley 車我地去食的紅磡時新也不錯，港式口味，另一番風味，更重要是扺食！一個好似十蚊左右，但和麥記十蚊一個的相比，實在好食幾十倍。近來聽過很多人推介，在中環的 Pro Burger 我都想去一試，聽講好熱氣，但好好味，不過價位仲貴過Burger King些少。

2.
食完麥記，我的八達通已經負資產，不過我有自動增值的。入閘前，突然閃過一個念頭：如果我今天已自動增值了一次，那就不能再自動增值了。那麼我入左閘咪出唔到閘？
你們看到我的問題嗎？
大家都知道用八達通是出閘才扣錢，於是我就直覺以為扣錢那一刻才會自動增值。原來實情並非如此。
我一o都，入閘機發出一種特別的音樂，表示我的八達通剛自動增值。
想深一層，其實我都幾戇居。唔係每個人都有使用八達通自動增值，負資產時入到閘但又無錢出閘，咁咪好麻煩？ 為了減少不便，應該設計成負資產不能入閘吧。但有自動增值的，就在入閘那一刻增值，那麼大家也方便吧。
但那一刻點解我會有一個咁戇居的諗法呢？

柏拉圖立體

凸(convex)正多面體(regular polyhedron)，又稱為柏拉圖立體 (Platonic solid)。遠在二千多年前，古希臘人已發現只有五種凸正多面體：正四面體(regular tetrahedron)、正方體(cube)、正八面體(regular octahedron)、正十二面體(regular dodecahedron)、正二十面體(regular icosahedron)。

不清楚他們的面貌？到 wikipedia 一看吧。既然稱為柏拉圖立體，當然與古希臘哲學家柏拉圖有些關係，我不在此述，有興趣也可看 wikipedia。
http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid

是不是很漂亮呢？各柏拉圖立體中，每個面都是相同的正多邊形，但別搞錯，這個不是柏拉圖立體的定義。有些人就是被這個漂亮的特性深深吸引，以為每個面都是相同的正多邊形的立體就是柏拉圖立體。

試想像一個立體，它是由兩個正四面體沿一面相接得出來，見下圖。



別弄錯，這個立體不是正八面體。它只有六個面，而每個面都是等邊三角形。

它每個面都是正多邊形，但看上去美感及不上那五個柏拉圖立體，究竟是何固？

美，總有原因吧。這是因為柏拉圖立體很對稱。

立體上的對稱，要以量化的角度來說可以十分複雜，那些甚麼對稱群我也不懂，但兩千年前的希臘人也不懂呢。他們可以欣賞柏拉圖立體的美，我相信不會單單是一種感覺，而是有一套確確實實的語言去描述這種美。古希腦的哲學家可不是一群只懂吹水的窩囊廢。

我不知那時他們怎樣描述，我用我的語言去描述吧。

任何多面體的結構，都包括三個部分：頂點(vertice)、棱(edge)、面(face)，就由這三部分入手。

關於面，前文已述，每個面都是相同的正多邊形。假設你身處其中一個柏拉圖立體，無論你身處哪一個面，周圍也是一樣的。

而頂點和棱呢？
每個頂點都是由相同數目的棱相交而成。
正四面體：每個頂點都是三個棱的交點
正方體：每個頂點都是三個棱的交點
正八面體：每個頂點都是四個棱的交點
正十二面體：每個頂點都是三個棱的交點
正二十面體：每個頂點都是五個棱的交點

又可這樣說：每個頂點都是由相同數目的面相交而成。
正四面體：每個頂點都是三個等邊三角形相交而成
正方體：每個頂點都是三個正方形相交而成
正八面體：每個頂點都是四個等邊三角形相交而成
正十二面體：每個頂點都是三個正五邊形相交而成
正二十面體：每個頂點都是五個等邊三角形相交而成

在某個柏拉圖立體，無論你站在那一個頂點上觀看，四周的風景也是一樣！

這特性，在我所畫的「六個等邊三個形面的多面體」上是沒有的。那立體，有些頂點是有三個棱相交，有些則有四個。

還有一個性質，不過這個與前面兩個的性質有些不同，這特點嚴格上來說你是要經過計算才可得到，不過直觀上也不會有人質疑：任何兩個相交面的夾角都相等。

事實上，我們需要兩個條件才可清楚定義柏拉圖立體：
1.每個面都是相同的正多邊形。
2.每個頂點都由相同數目的面相交而成。

數學上，除了柏拉圖立體，還有一類立體是用希臘人的名字所命名，那就是阿基米德立體 (Archimedean solid)，一共有13種阿基米德立體。圖請看 wikipedia 吧：
http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid

驟眼一看，大家也會發覺阿基半德立體不像柏拉圖立體般對稱。
嘗試用我之前所述的欣賞方法去觀察阿基米得立體，你便會知分別在那裏。

讀到此處，你已清楚理解甚麼是柏拉圖立體，以及實實在在去欣賞這類立體。

我覺得學習一樣東西，不應該只學他的名稱，那有甚麼意思。對於幼稚園、小學生，這還可以，因為我們需要一些字詞去表達我們的意思。但踏入中學後，還可這樣學習嗎？學完這幾個名，然後把摺紙圖樣剪出來製作立體，這就算學了？

香港無人不識曾蔭權這名字，但有幾多人認識曾先生？

只學那名字，稱作柏拉圖立體也好，還是死肥仔立體也好，那又有甚麼關係？

老婆大人

近日間中也會收看電視劇老婆大人2。
最近葛國光撞親個腦有瘀血，性情大變，脾氣十分暴躁。遇上一些看不過眼的事情，就會大發雷霆把別人教訓一頓。例如看見別人在公共地方抽煙，就去罵人一頓。隨街丟垃圾的垃圾蟲，當然不放過。排隊打尖？當然不行啦。
但在這個社會，如此直斥其非，當然會遇上不少麻煩，一日內去了幾躺差館……
究竟點解？道理明明係我果邊，明明我是對你是錯，為甚麼指出你的錯反而我要惹上麻煩？
我都想好似葛國光咁，有乜講乜，得唔得罪人完全唔駛理。明明係大是大非，點解要讓步？
道理明明在我手，點解要忍氣吞聲聽你鳩 up。(鳩 up，音「鬥 up」，權威的曾先生在立法會上都咁講，官方話唔係粗口架)
但這個社會就係咁，為左要迎合一些人的需要/方便，就要讓步。
大是大非？傻啦，沒有是非。把它模糊化！
六四無死人
南京大屠殺沒有發生
現在無人信唔緊要，只要不斷重複，在社會上留下這聲音，事實只會越來越模糊。甚至有一天大家也習非成是吧。
迫切？轉移視線吧，有更迫切的事情要做呢。
先救災，後問責。問責？無呀，乜責呀？豆腐渣？在哪兒呀？乜來架？豆腐舖有得賣？多少錢一斤呀？
2012?2017?首要任務是要搞經濟。經濟好果陣搞經濟，經濟差又係搞經濟。
哈哈哈，拖得幾耐得幾耐，過左海就神仙，反正往後也未必要我去理。
不似人話的官話，就是最好聽吧。
明明說得清清楚楚無爭拗，但有人可能係無知可能係別有居心，就是要去拗。說得模棱兩可就最好吧？係咩？我係咁講咩，唔係呀，其實咁即係咁咁咁。留多d空間，A君有A君的詮釋，B君有B君的理解，想點就點，迎合所有人，皆大歡喜。是非對錯？別傻了，觀點與角度jei。
正所謂多做多錯，少做少錯， 跟大圍去做，有錯就齊齊錯。無謂懶有性格。
1905年，同人講質量會隨速度改變，大部份人都會話荒謬。1915年同人講光會走曲線，空間會彎曲，人人都會當你係痴線佬。愛恩斯坦就係這個比人話荒謬的痴線佬。
成日講甚麼創意，發展創意工業，得咩？因為有能力扶助或踩死你的人，根本無這個心態。這個社會沒有這個氣氛。一個死氣沉沉的社會。偶有佳作，但無以為繼。
問題：當「方便」遇上「對錯」這個兩難，大家應走向哪一邊？
老師當然話比你聽是非行先，但其實老師都唔係咁做人。
做學生的，無人話過知識係垂手可得，學唔識難道自己沒有責任？係老師欠左你？入唔到U就係政府欠左你？
做老師的，無人話過傳授知識係一件輕鬆簡單容易的工作，遇上困難的概念就避之則吉任由學生自生自滅？
四圍都係咁，捨難取易，人之常情？
是非？乜野係是非？
做正確的是都要受教訓，這套電視劇真是教壞細佬。
很痛，一刀一刀插入我心，血不斷在流。
怪甚麼？因為我是小賤民，根本沒有質疑的資格。

代價

如果做任何事情也不用付出代價，是不是人人都會視無忌彈，有恃無恐，想點就點？
我諗都係。

物理學上的XX守恆定律，實在正確。XX物理量會守恆，但是我們要注意，這個守恆不是在局部地區發生，而是就一整個系統而言的。

真的可以不用付出代價嗎？當然不是，只是其他人為你付出吧。

不過現今各階層各行各業，人人都很自私。唔關我事，做乜要理，他日有問題留待他日別人去理吧。繼續想點就點，自己不知幾爽。

小時候讀書，不是說甚麼人類是群體動物，要互相幫助。就算現今教育局所謂的九個共通能力：協作能力、溝通能力、創造力、批判性思考能力、運用資訊科技能力、運算能力、解決問題能力、自我管理能力及研習能力，也認同合作的重要性。

但實際上這個社會的合作，指的是甚麼？有權有勢的又怎會同賤民合作。賤民，就是用來做替死鬼，死不足惜。

哈哈哈)))))

我都想乜都唔理，唔理其他人，自己想點就點。不過做唔出吧，也沒有這個 Power 咁做。

H1N1

早上讀報，世衛把「豬流感」改稱「H1N1甲型流感」，以免令人誤會該病是由豬隻傳播。
晚上曾特首記者會，依然左一句豬流感，右一句豬流感。看樣子他是在讀稿，寫稿人唔知，佢又唔知，咁多高官都唔知？