夢

很恐怖，昨晚發了一個夢，一個關於數學的夢，訓醒後比平日更加累。
不是甚麼高深數學，或許大家以前也有想過。不過我應該沒有想過，或者想過都忘記了，但竟然在夢中出現……點解唔係發夢見到下期六合彩號碼呢……在夢中，我考慮曲線 y=1/x (其中x>0)。我在計算一個旋轉體的體積，該旋轉體是由曲線y=1/x、直線 x=k(其中 0< k <1)、x=1 和 x 軸所圍成的區域繞著 y 軸旋轉360度所形成。
在夢中，我用shell method，很快計到該立體的體積是 2*Pi*(1-k)。
當時令我驚訝的，是當 k 趨向 0 時，該體積會趨向 2*Pi！不神奇嗎？該曲線在 x 趨向 0 的時候 y 的值是無界的，該區域在 k 趨向 0 時候面積也是無界的！但那個立體的體積竟然是一個特定的值！我感到十分惆悵。
上班途中在巴士上試下用disc method 來計算一下，當然也得出相同的結果。
其實類似的結果，在幾何級數 ( geometric series) 中常會出現，例如著明的 Koch snowflake，便是一個周界無限但面積有限的平面圖形。
這些吊詭的結果，是因為我們感觀上的面積和體積，與數學中的面積和體積是有分別吧？不過我依然感到惆悵……


wikipeidia 上關於 Koch snowflake 的介紹：
http://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake
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近日實在很累，欠下很多 blog 債。
有些長篇大論的，唔想打……或者打打下未完成，實在很費神，例如對電影 ironman2、猛鬼街的感想、對516的感想、一些對初等數學、數學教育的看法……
就算短短地的，也沒有精力去完成。
隨著時間的流逝，一切也淡忘……