Square root of 2 to the power of square root of 2

最近讀到一個令我幾迷惘的數學證明。迷惘的並不是它涉及甚麼高深的數學知識，其實只須具備初中有關指數和無理數的知識便可看懂。迷惘在於我看完個證明，好像甚麼也沒有得到似的。

看這證明之前，看看以下問題。

設 a 和 b 為無理數。下列各數式是否必定為無理數？
1. a+b
2. a-b
3. a*b
4. a/b

四條的答案都是否。相信大家也很容易舉出例子吧。
例如設 a=b=sqrt(2)，那麼2,3,4的結果很明顯是有理數。
但這個數式又如何呢？
a^b (a 的 b 次方根, a to the power of b)
我想不出答案來。書本上提供了一個很簡潔的證明：
(首先，大家都不會質疑 sqrt(2) 是無理數吧？不相信？網上你會找到很多資料，我不多講了。)
如果 (sqrt(2))^sqrt(2) 是有理數，那麼我們便即找到無理數a和b(即a=b=sqrt(2))使a^b是有理數。
如果 (sqrt(2))^sqrt(2) 是無理數，設 a=(sqrt(2))^sqrt(2), b=sqrt(2)
a^b
=((sqrt(2))^sqrt(2))^sqrt(2)
=(sqrt(2))^(sqrt(2) * sqrt(2))
=(sqrt(2))^2
=2
即a^b是有理數

證明頗簡潔吧？我們證明了存在無理數a和b使a^b為有理數。
但我總覺得欠缺了些東西，就是看罷證明後，我也不能舉出一個實在的例子來印證。
多年來我是否首次遇上這種證明的技巧？我不清楚。
可能讀大學時也會遇過，不過或許涉及的東西我不太感興趣，所以也沒有去深究。
但這個對象是有理數和無理數，中學時代也有接觸，我們也常常用到，因此引起我的注意。

一直以來我都覺得「證明到要證明的東西」不是證明的最主要功用，不過這個例子實在太極端了。除了證明到要證明的東西，這個例子可說是毫無建設性。

如果有人用以上形式建構出以下證明，你有甚麼想法？
如果神存在，那麼abc...
如果神不存在，那麼xyz...
因此，神是存在的。




神，在哪裏？

鉛筆

「唔好寫得咁深色呀，好難刷呀。」
印像中，很多人都覺得深色的鉛筆痕是很難刷掉。真的嗎？
其實並不是因為顏色深，而是因為筆痕深所以難以刷掉。
筆痕深的話，碳粉蝕入紙張。使用刷膠時刷膠不能接觸到碳粉當然難以刷掉。
拿一枝6H的碳筆在紙上一畫，畫出來的線條顏色淡，但筆痕可能很深。因為6H筆的硬度高、黑度低，所以只要輕力便畫出深深的筆痕。而拿一支6B的碳筆輕輕一畫，便可畫出顏色很深但筆痕很淺的線條，這是因為6B筆的硬度低、黑度高。相信你要刷掉6B筆的那些深色線條會較6H筆易。
當然你拿同一款的鉛筆來比較，深色的線條自然較難刷掉，哇哈哈哈哈哈)))))))))

解

上一個題目，我還未想得出一個不用計算的答案。
以下是我的計算答案：

先考慮黑色部分，它可分成內、外兩部分。



看看外部，把它分拆重組，可得出兩個圖1般的圖形。
而內部，很明顯是由四個圖2般的圖形組成。

再考慮原圖，用畢氏定理，我們可發現圖1和圖2的正方形邊長之比是 1:sqrt(2)
(看不出來？設原圖紅色圓形的半徑為 sqrt(2)。sqrt(2) 即是 positive sqare root of 2, 2的正平方根。)
知道這個比是很重要的。由於圖1和圖2是相似圖形，所以面積之比即是邊長之比的平方。因此圖1的面積是圖2的面積的2倍。
外部有2個圖1，內部有4個圖2，因此內、外的黑色部分面積相同。

仍是考慮原圖。設大正方形的邊長為2。很明顯，正方形面積減圓面積便可得外部黑色部分的面積。
因此外部黑色部分的面積是 4-pi
而內部黑色部分的面積也是4-pi
所以黑色部分總面積是8-2pi

紅色部分的面積呢？
把圓面積減去內部黑色部分的面積便可求得。
即是 pi-(4-pi) = 2pi-4
因此，黑色部分的面積:紅色部分的面積是
(8-2pi) : (2pi -4)
紅色部分面積較大

方中有圓

今天同事問我一道題目，是取自TVB週刊：

圖中黑色部分所佔的面積還是紅色部分所佔的面積較大呢？

當時我想了三四分鐘也想不出答案。那時我直覺上覺得這類八卦雜誌的IQ題，應該不須太多數學知識，當中必定有些巧妙之處，不用運算便能「看」出答案，例如從圖形的拼砌入手。但想了一會我還未能想出來。

實在不服，還是用數學方法吧。放工乘車途中，我心算不用兩分鐘便計出黑色部分和紅色部分的面積之比的真確值了。當中涉及初中圓面積和比例的概念。

問題雖然解決了，但內心仍然覺得當中是有一個既巧妙又漂亮的方法，只是我未能想出來。
我這種想法實屬迷信，太不理智了，但我仍在思索中 -___-

大家會否覺得奇怪，我說「初中」圓面積和比例的概念。無錯，現今香港的數學課程，這些圴屬初中課程。

與我差不多年紀的朋友會否覺得奇怪？圓面積和比例我們在小學時已學過了。

奇實我也覺得奇怪，特別是圓面積。

現在小學依然會學正方形、長方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，但是圓面積則排諸於外。其實不算是太難吧？就算現在初中來學，也不是從甚麼嚴格論證出發，只是從直觀入手。大家當年看兩看 ETV，也很容易接受圓面積=pi*r^2吧？

比例在小學則較難處理。

記得小學時學比例，不是正規書本上的內容，只是學能測驗的推理題須用到比例，老師因而教授。當時我留意到一個怪現像。

話說小學年代我和臭機在數學科的成績可算是叮噹馬頭，大家的數學測驗考試也近乎滿分。但在做那些比例的推理題時，臭機竟然炒粉，但我又唔覺得是甚麼大問題。那時我不知是何固。

十幾年後回想起來，其實都想到一些原因。那當然不是因為我數學能力比他強，反而是恰好相反，其實是他比我認真得多吧。當時我其實沒有怎樣想過當中的概念，只是全盤接受老師教導，把比當成分數處理。那個冒號看成分數線，左邊的數當分子，右邊的當分母。我就是這樣去做那些題目。

人大了回想起來，如果我們認真去思考比的概念，實在幾難搞。當中涉及把現實的量去抽像化處理，與一般小學生的習題很不同的。

雖然老師口中話當分數做，但細心去想其實大家會有不同之處。
例如：
6個橙的2/3，是4個橙。
5個蘋果的1/4，是5/4個蘋果。
留意，橙依然是橙，蘋果依然是蘋果。

但比又如何呢？
甲有5個橙，乙有10個橙，甲的橙比乙的橙是 1:2。
甲有12個橙，乙有24個橙，甲的橙比乙的橙是1:2。
兩個情境的數目完全不同，但考慮比時，他們是一樣的。
再來看看：
甲有24枝顏色筆，乙有48枝顏色筆，甲的顏色筆比乙的顏色筆是1:2。
看到嗎，這次考慮另一種對像，但我們仍是用「1:2」來代表。
只是簡單地不用單位相除便可？也不是呢。
例如：
甲有4個蘋果，乙的顏色筆長8cm。
我們不可把蘋果數目和長度來「比」。
幾時得幾時唔得？
點解得點解唔得？
點解不同的對像可以歸約成同一個形式來表示？
這些那些
實在太多太多問題要處理。

一係就抱著我當時的讀書態度吧，老師話係咁就係咁。咁樣做就煩少好多。

教育的理念不是想培育應聲蟲吧，但偏偏我們的社會就是想所有人也是應聲蟲，甚至是僕人，對上頭不會say no的奴才。

突然想起友人的一句話：
這個社會需要乜野人，我們的教育就是提供這類人。

從三角形內角和說起

由小學起，我對數學科不是太感興趣，但也不覺得討厭。小學時我覺得數學是一科不須太用功也能得到高分的科目，其他科在考試前我也會拿本作業出來溫習，因為考試題目絕大部分也是作業的內容。

小學時的數學，大多是學習運算技巧，如四則運算，或者公式的運用，如面積、周界的公式。較令我頭痛的，是方程、速率，以及工程問題吧 (工程問題即是水管甲用咁多時間能注滿一缸水，水管甲和乙一齊運作就要咁多咁多時間，求水管乙獨立運作時注滿一缸水的所須時間這類問題。)，不過最終都能克服。那時我曾天真地認為如果考試可以用計算機，每次考試也必能取得滿分。

到中一，有段時間覺得讀數學都幾悶。大部分內容其實小學也學過，只是轉用英文，不斷要背生字。上數學堂也要默書，這是英文堂嗎？直至開始接觸幾何，學到「三角形內角和」( Angle sum of triangle )，才令我覺得數學課多了一點趣味。

三角形內角和這個初中所學的幾何定理，我想大部分人還記得吧？

在平面三角形中，
若a、b和c是三角形的內角，
則 a+b+c=180度。

當年，這個定理令我十分震憾！
它不是告訴我某一特定的三角形的內角和是180度，而是在任意一個三角形都有這個特性。無論你怎樣繪畫，怎樣拉扯你的三角形，只要是一個三角形，內角和必定是180度！

太神奇了，像是魔術般。那時我覺怎可能呢？當時的我覺得一個量的改變引致另一個量的改變是理所當然的，但在這個情況下，一個量 (其中一個內角) 的改變，會引起另一個量 (另一個內角) 的改變，但它們的改變中竟然會使再另一個量 (內角和) 保持不變，實在不可思議。

學習三角形內角和之前，我們也會先學習「直線上的鄰角」(Adjacent angles on a straight line) 和「同頂角」(Angles at a point)。這兩個定理其實也和三角形內角和有類似的效果，就是指出了幾個量的變化是有一定規律 -- 變化會引致不變量。不過這兩個定理不能帶給我任何震撼，因為實在太明顯，直觀上一眼便看得出來。一個蛋糕你把它切開，再拼合，你不會質疑拼合出來的會和原來的不一樣。但三角形內角和，我就不能一眼看得出來。

小學時有類似的情況嗎？其實是有的，那就是反比例，但情況略有不同。反比例的情境中，都是人為設定下得出這個關係，這個不變量是人為安排的結果。而三角形內角和就像是上天安排下的奇妙性質。

我也頗喜歡中學的幾何課。當時覺得和小學的幾何有很大分別，但也說不出是甚麼分別。以現時我的「生字」，小學的幾何課是學習「圖形的量度性質」，中學的是學習「幾何量之間的關係」。

往後的中學數學生涯，我也很留意三角形的其他漂亮特性，如「畢氏定理」、「三條中線交於一點」等等。

震撼還震撼，但我在那時只停在三角形內角和的階段，在學習「多邊形內角和」(Angle sum of a polygon) 之前，我未曾想過三角形外的多邊形，如四邊形五邊形等，它們的內角也會有一個漂亮的關係。這實在不是學習，尤其是學習數學的好態度，實在慚愧。

或許我對數學，是欣賞多於鑽研吧。

五角星

由小時候開始，我一直也為五角星而著迷。
我覺得這個圖案很漂亮，很特別。
正五角星就更為對稱，但就算不是正的，也很漂亮。
很細個的時候，見到這個圖案，不奇然便拿起紙筆嘗試畫出來。但怎樣畫也不漂亮，內裏太多線條了，很複雜呢。
後來媽媽向我展示以下畫法，我想很多大人也會的。但在你們小時候，又是否一看到這個五角星圖案就想出這個美妙的畫法呢？我就不能了。

那時我覺得實在太奇妙！線條如此複雜的圖案，竟然只須用五條直線便可畫出來，這五條直線還可以筆不離紙地畫出！太神奇了。

之後我又想，這種漂亮的畫法，在其他星狀圖案又是否可行呢？
先來六角星，我試來試去也不行，較為漂亮的畫法是畫兩個重疊的三角形吧。有沒有更漂亮的畫法呢？我就不懂了。
八角星、十角星……等等 (n為不少於6的偶數的n角星)，也可以用類似的方法畫出來。


七角星又如何？試了一會，終於成功。用類似畫五角星的方法是行得通，不過當中的角度較難掌握。
九角星、十一角星……等等 (n為不少於5的奇數的n角星)，也可以用類似的方法畫出來。
很多人都懂得畫五角星。我一直以為也有很多人懂得這樣畫七角星，但原來並非如此。記得高中時，我曾向一個都幾醒的同學展示這樣畫七角星，他露出了一副驚訝的樣子！像是見到一件新玩意似的。之後也問過一些人，有些人都懂，不過原來很多人也不懂呢。或者咁講，很多人也沒有想過這東西。這東西太無聊吧。