公理之前

1. Any two points can be joined by a straight line.
2. Any straight line segment can be extended indefinitely in a straight line.
3. Given any straight line segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one end point as centre.
4. All right angles are congruent.
5. If two lines intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough.

(source: wikipedia)

以上五點，正是歐幾里得於《幾何原本》卷一中所提出的五個公理。《幾何原本》的價值，在於把幾何知識按邏輯系統編排起來。後人如想證明新的幾何知識，只要其根可在幾何原本中找到，便可保證這個根基穩固。

這部鉅著，亦顯示出古希臘的數學講求嚴謹的邏輯推理，這亦是與古代其他文化中的數學分別所在。我們可見古希臘的演繹幾何，已把日常生活中的「物件」抽像化成為數學物件，一條線，並不是阿媽用來縫衣服的線，而是「沒有厚度，只有長度」的物件。

如果限於應用層面，便不會看出「定理」和「逆定理」的分別。例如在三角形 ABC 中，

若 C 是直角，則 a^2 + b^2 = c^2 。(這是畢氏定理，收錄於幾何原本卷一命題 47)
若 a^2 + b^2 = c^2，則 C 是直角。(這是畢氏定理的逆定理，收錄於幾何原本卷一命題 48)

如果只限於實際應用，只會觀察到有些三角形既有 a^2 + b^2 = c^2 這特性，也有 C 是直角這特性，但不會觀察到兩個特性的邏輯關係。

後人一直推祟這種體系，讚揚希臘人研究的抽象邏輯推理系統。但是希臘人是否真的超然脫世呢？

我們來想想公理之前的事。

人們把公理視為不證自明，理所當然的事。但是為甚麼那五個東西會被歐幾理得視為公理？
希臘人注意到在演繹推理的過程中尋根究底，定會去到一個無法證明的源頭。如果那源頭荒謬到極，就算推導過程合法，出來的結果可能會怪誕。因此，選用了一些覺得理所當然的知識作為根本。但那些知識為甚麼是理所當然？這就是我們人類對這物理世界的感觀認知而來。

認真再看該五個公理，縱然我們沒有學過任何幾何知識，也不會覺得那五個公理所描述的是荒謬吧。

若單是為了表現出邏輯推理，公理絕對可以是任何怪誕的東西吧？把那些公理改動一下，絕對可以發展出其他幾何系統，例如近世的曲面幾何。所以我覺得希臘人的數學並非全然在於邏輯推理的表現。
或許希臘人都有做過類似的東西，但不為那年代的大多數人所接納吧？

如果我們身處的物理環境不是這樣，例如像是相對論中的環境，我想我們的數學絕對是從曲面幾何出發吧。

數學發展也好，物理發展也好，都受我們身處的物理世界以及知識的展影響吧。

從這個世界，人們覺得幾何學應是歐氏幾何，物理世界的運動應是牛頓力學所描述般。非歐氏幾何，最初只是純數學玩意成份居多，但原來這個世界也全非可用牛頓力學所描述，這個世界原來也有非歐氏幾何的部分呢。知識一直發展下去……

我們的未來又會是怎樣？