應用概率的困難 (1)

由中學時期開始認識我的朋友，都知道我那時是極度討厭概率，當時我有句話常掛在口邊：「投機把賭的玩意不適合我」。為甚麼我對這門應用如此廣泛的學問那樣反感？因為我在中學階段一直都未能好好掌握這門學問。

點解不能好好掌握，人大了，我亦逐漸了解。因為就算止於中學程度的概率問題，亦不是單單靠數學便能好好解決。

看看我們在中學年代所遇到的數學問題吧。

代數學
那個年代很著重繁複的運算，但只要你操練得足夠，運算時小心一些，都不會犯下甚麼錯。
再深一些，便是方程、不等式和線性規劃。學生要把現實情景化為一個數學模型，當中這個轉化過程，不是所有中學生都可好好掌握。大家看透了，當然便知道當中的秘訣：以未知數代表情境中未知的數量。處理得這類問題越多，這個轉化也會越純熟。

幾何學
幾何學可分為兩方面
一，是把幾何問題化為代數問題。例如坐標幾何、三角學。
這個轉化，我一直也覺得很直接。坐標幾何根本就與方程問題無異，只是情境的不同，但目標一致，兩者也是要找出未知數之間的關係吧。
二，演繹幾何。
這種思維方式初遇上當然不習慣，加上那時老師的教法實在容易令人一知半解 (或許老師也是一知半解)，但即使如此，就考試來說它的做法亦是有跡可尋，到後期更覺這類題目實在淺得很，連目標也送了給你，朝著目標去便成。雖然那時不明白當中的底蘊，不明白它的價值，但就考試上拿取分數的層次上，不算困難。

數據處理
一，統計學。
在我讀中學的那個年代，統計學實在很簡單。學生只需的按題意閱讀圖像，或者計算平均數、標準差等。就拿取分數來說，大部分學生都當這類題目是執分的。好似很容易？但大部分人 (包括當時的老師)，都沒有想過當中的概念有何意義，例如平均數、標準差有何意義？得 5 個數據你叫我叫這 5 個數據的標準差？咪玩啦，計出來有乜用？作用是考試拿取分數。大家都覺得同生活息息相關的一科，但在一個十多歲的學生眼中，不會看出同現實有多大關聯。(近年的課程改革，這科大幅改動，已改善了不少。)

二，概率論。
這門學問，就算到了今時今日，要我去處理一些理論上中學生應該懂得處理的問題，我也有可能覺得困難。
讀中學時，這科我覺得很不實在，虛無飄渺似的。原因是你找不緊一個東西，怎樣把情境化為概率模型呢？

(符合事件的結果數目)
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(所有可能結果的數目)

這個是所有中學教科書中有關理論概率的定義，但要寫出這條式子前所面對的問題，又怎樣解決？

我如何得知我要數的甚麼東西？我不知要數甚麼就當然不能判斷那兩個量究竟是甚麼吧？就算我知要數甚麼，我又怎樣知道我沒有數漏？這些都是中學時初學概率所碰到的問題。

及後遇上乘法和加法，更多問題亦會出現。

其實這個困難，不只是應用概率的困難，是應用數學的困難！

如何把現實情境化作數學模型？

這個不止是數學問題，往往涉及其他知識。在中三的物理課，發生個一些令我震驚的事情，令我對數學和現實有另一番體會。
大家都記得中三的物理課是有光學這一節吧。當時初學這一科，實在唔識計。究竟那個長度怎樣可求得呢？突然，老師一句：「全等三角形呀！」，噢，我如夢初醒了，怎麼我想不到呢？
因為數學課本上有關全等三角形的題目，一是叫你證明全等三角形，又或者從已知的全等三角形中求未知數。但大家從沒有想過怎樣在現實中應用全等三角形吧。
又有一次，做實驗得出一些數據，在方格紙上描繪了一個直線。老師問我們 XXX 是甚麼？(XXX 是一個物理量，我已忘了那是甚麼實驗，甚麼物理量。)，我不懂，全班也沒有人舉手。老師又一句：「 y = mx + b」，我又如夢初醒，無錯，那個量的值不就是直線的斜率 m 嗎？

當時那些數學知識我全都學過了，數學科分數不算明列前矛，但總不算是差，但為甚麼一點兒學過的知識也用不上？

隨著年月的增長，漸漸明白要把現實和數學拉上關係，並不是話咁易。物理學就常常處理這些問題。

有坐標幾何，有微分方程，你就可以處理粒子的運動？這個數學模型和現實情境，當中是有一道重要的橋作為連接 -- Newton's Laws of Motions

而處理概率的其中一個難度，就是找不到這道橋！