應用概率的困難 (2)

曾有一段時期，我對概率為之著迷，那是因為量子力學的原固吧。那時我還走去數學系上概率的課，也看過不少書籍，對這門學問的知識和技巧都有所增進。例如對點算的方法加深了，把概率問題轉化為條件概率問題來處理，學過一些概率模型，如 Markov Chain, Brownian motion, Inventory Model, Queuing Model 等等。

雖然那課程不著重 Axiomatic Approach (我指 Kolmogorov Formulation) ，但我都涉獵了些少有關知識。

好似學了很多很多有關概率的東西，那麼死肥仔現在對處理概率問題應該信心大增吧？但我並不是精通所有那些知識和技巧，而且就算能夠駕馭它們，也不能消除我心中的困擾。

在理論層面，axiomatic approach 的引入令到概率架構得以嚴謹，數學人就是喜歡這樣吧。但要和現實關聯，這個 axiom 仍是不夠根本。

當你決定好 sample Space, Borel algebra of sample space, probability measure, 你之後所做的便有概率論去支持。

但怎樣決定好 sample space？怎樣決定 probability measure？這都不是概率論要處理的問題，敬請閣下自理。

例如擲一敉骰子所得的點數，
sample space = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
borel algegra 我們可取那個 sample space 的 power set (在 finite sample space，我們通常都這樣做)

我們可這樣定義 Probability measure:
P(1) = 1,
P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0
這樣做理論上無問題，但如果你那是均質骰子，利用這個概率模型你便不可推測出合理的結果。

很多時，都要一些現實資料去建立這個 probability measure，例如： random。但 random，怎樣的 random？很多人都說是 sample space 中的每個 sample point 發生的機會均等，這為之 random，於是我們根據這資料設計我們的 probability measure。於是以上的情境如果是均質骰子，那個 probability measure 應是這樣：
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6


要決定 sample space，人們常說要每一個 sample point 對應一個 possible outcome。但這個真係夠嗎？因為我們未必能判斷到正確的 sample space。

想想這情況，考慮擲兩粒均質骰子的點數之和
Sample space = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
但我們如果當以上每個結果出現的機會均等，即 1/11，便不乎合現實了。
你上堂聽書，老師實話你上面咁做係錯，個 sample space 應有 36 個 sample points
{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),..., (6,5), (6,6)}

每個的 probability 都是 1/36，再用這些構作點數之和的事件來處理。
但點解原本那個 11 個 sample points 的就是錯？這個36 個的就是對？
如果 11 個的那個我這樣定義probability measure:
P(2) = 1/36,
P(3) = 1/18,
P(4) = 1/12,
...
(大家都明這個「奸矛的」定義吧)

就點數之和，所計算的答案和之前的 36 個所得的結果一致！

你考完會考，可能在恥笑這個得 11 個 sample points 的不夠原始，所以不對。但你又怎知 36 個 sample points 的就是最原始？會有比它更原始嗎？你能在這情況下判斷出 sample space 不夠原始，在其他情況你也有這種能力嗎？這個隱藏了的樣本空間，實在吊詭。

有時，同一個情境我們可選擇不同的 sample space，在 finite 或 countable infinite，我們會較容易看出它們之間的對應，但遇上 uncountable infinite，就不同了。在不同的 sample space 下所理解的 random，所出現的結果會有所不同，這亦是著名的 Bertrand's paradox

在 wiki 有關 Bertrand's paradox 的資料

要好好選一個乎合現實要求的 sample space ，所需的也不是數學知識。

如果有其他通用的知識幫助我們判斷出 sample space，相信我們能更有效地用概率來處理現實問題！其價值就有如描述物體運動的牛頓定律吧！