無無聊聊,去西九逛逛。
ICC 快將完工吧。他朝一日,會與對岸的 IFC 成為香港兩枝頂心杉。
海風吹拂著岸邊小草,很舒服。
這種花有何特別之處?牡丹雖好,也要綠葉扶持。無錯,就是欠缺了綠葉。
到了這個季節,已很少看見這種黃花了。
看見嗎?那些小花組成一副得意的樣子。
西九海濱長廊,其實不太美,圍爛外你會看見很多爛地,不過很寧靜、很舒服。
不過今天去到,這片寧靜給打破了。四圍很多人在踏單車,很多小孩衝呀衝。其實我覺得在這兒踏單車很危險,單車徑很窄,我想兩個死肥仔打橫行已佔了單車徑。於是,很多人在旁邊的木板路上踏單車。但那些木板不平,衝得快遇上凹凸處會很易炒車。加上今天有部分範圍正在佈置將會舉行的香港美酒佳肴巡禮,空間少了,踏單車更危險。
Monday, October 26, 2009
Astro Boy
這種裝置我覺得很有趣。不過四圍太光吧,效果不明顯。
看完這實驗室,順便去看電影阿童木。
之前我沒有看過阿童木的漫畫和動畫。起初我還以為這是日本製作,原來是荷里活的製品。
故事是關於阿童木的誕生。一部很正能量的電影。我覺得大人去看會有令大人感動的地方,小孩子去看會有小孩子喜歡的地方,看片時不斷傳來小孩的歡笑聲 :) 完場時還有人拍手!要知道,這間是荃灣百老匯,不是百老匯電影中心!第一次在電影中心以外的戲院完場時聽見有人鼓掌。
如果你想看官能刺激,這部電影絕對滿足唔到你。講3D,沒有3D眼鏡,亦沒有誇啦啦的 CG 效果,更沒有震撼的音效。但你用心去感受,絕對是一部觸動心靈的電影。平實的畫面朔造出溫馨的氣氛,適當的配樂絕對能牽引著觀眾的情緒。
3D 、音效,純粹是錦上添花,一部有主題的電影,就算是黑白雪花片,也能感動觀眾。
主題是甚麼?是愛。對這個世界的愛。愛,可以打破階級的隔膜,打破人與人間的不信任,打破欲望的枷鎖……很空範?我不想透露劇情,大家入場用心感受吧。
唯一要彈的,就是現在在香港上映的動畫,很難找到原裝配音來看。以前通常港島的 IFC、金鐘 UA、時代 UA 都會上映原裝版。這部阿童木,好像只有東涌有上映英文版配音。中文配音很多時也是生硬沒有感情。就算原裝是日文我不會聽得懂,但也可以感受到角色的感情。中文配音……不加上港式爛 gag 已算執到。
複數的出現
大家還記得學習複數 (complex number) 時,書本上是怎樣引入的呢?
通常是:
數學家在研究三次方程 (cubic equation) 的求根公式時,發現了複數……
又或者
為了使 x^2 = -1, x^2 = -2......等方程有解,於是引入 i = sqrt(-1)
輕輕地交代了複數的發現,然後,大家便利用 i^2 = -1 這規則,再加上一直以來在實數四則運算見慣的交換律、分配律,進行複數的運算。
我想大約在我讀預科時,我「相信」複數是由數學家研究三次方程時開始被重視,因為我見過很多書都係咁講。而「為了使 x^2=-1, x^2=-2......等方程有解,於是引入 i=sqrt(-1)」只是一些書本簡便起見作出的引子吧。
那是我只是信,相信權威吧,但沒有其他理性上的理據說服到我。
當時我心入面有幾個問題:
1. 為甚麼要把 a+bi 看作「複數」,單單處理「bi」不行嗎?隨著接觸數學越來越多,我知道以「a+bi」作一個整體來看待,會引發出往後數學上很多豐盛的成果。
2. 為甚麼是在求「三次」方程才開以注意到複數?其實在二次方程的求根公式,有時都需要處理開方根號內帶有負數的問題 (即二次方程的判別式 b^2 - 4ac < 0)。
到近年 (近兩三年吧,近兩三年無乜時間觀念,忘了是何時了),我才想出一個令我接受的原因。
(這個純粹是我令自己接受的原因,未必是正確的原因,我也沒有去考究現今主流研究數學史的學者是否抱著這觀點。)
先看二次方程的情況。我們可把二次方程 ax^2 + bx + c =0 寫成
x^2 - mx - n = 0, 其中 m = -(b/a), n = -(c/a)
移項得出
x^2 = mx + n
好戲在後頭,引入未知數 y,得出以下聯立方程:
y = x^2 及 y = mx + n
原來的二次方程的根,便是這個方程組中 x 的解了。點解我要咁做?我想在直角坐標平面上「看」二次方程的解。
圖中顯示出 y = x^2 與 y = mx + n 的圖像。交點的 x 坐標便是原本二次方程的解。
不難想像,不同的 m 和 n 的值,就可代表不同的二次方程。
圖像中,y=x^2 這拋物線不變,改變直線 (即 m 和 n 的值),就可代表了不同的二次方程。大家有否發現,不是所有直線都與拋物線有交點?例如把我的附圖中的直線往下移,便會得出一條與拋物線不相交的直線。
沒有交點,即是方程無解吧!也就是判別式 b^2 - 4ac < 0。
因此,在解二次方程時,若 b^2 - 4ac < 0,我們可以不去深究 sqrt(b^2 - 4ac) 究竟是甚麼。無解就是無解啦,無交點就是無交點啦,不存在就是不存在啦,何須自找麻煩去研究這些不存在的東西?
真的不用理嗎?看看三次方程的情況。
三次方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0,可以變換為
t^3 + pt + q = 0 (設 t = x - a/3 )
與二次方程的做法相似,改寫成
y = t^3 及 y = - pt - q
這樣便可在 yt 平面上觀察解的情況。
下圖是 y = t^3 的圖像:
這三次函數的圖像,與二次函數 y = x^2 的圖像有一個很明顯的分別,就是沒有最低點。
給定任意一個 y 值,我們都可以找到圖像上對應的 t 值。當在圖上加上直線,必定會與曲線相交!這代表著三次方程「必定」有解。
但看看三次方程 t^3 + pt + q = 0 的求根公式:
這公式我是在 wiki 抓下來,三個公式中,都有 sqrt((q^2)/4 + (p^3)/27) 這項。
設 q = 0, p=3,代入第一個公式,我們得出 t = 0 是一個解,是方程 t^3 + 3t = 0 的一個解。這個解與我們用因式分解得出的結果是一致的!
就係咁簡單?還未完。
看看方程 t^3 - 57t + 56 = 0,大家可把 t = -8, 1, 7 代入方程,發現它們是該方程的根。
繪畫 y = t^3 與 y = 57t - 56 的圖像,它們會於 t = -8, 1, 7 三處相交!
但是,把 p = -57 及 q = 56 代入求根公式,
會發現 (q^2)/4 + (p^3)/27 = -6075,即 sqrt((q^2)/4 + (p^3)/27) = sqrt(-6075) 不是實數
在第一個公式會得出
(-28 + sqrt(-6075))^(1/3) + (-28 - sqrt(-6075))^(1/3)
注意在第一個公式中,本身沒有複數。但我們看到要利用這公式求得這方程的解(實數),我們先要懂得處理負數的開方根及有關的運算,即是複數的運算!(以上式子的結果為 7)
二次方程中,若 b^2 - 4ac < 0,公式涉及 sqrt(負數),我們說方程無解,結果與圖像無交點是一致的。
而三次方程中,若 (q^2)/4 + (p^3)/27 < 0,公式涉及 sqrt(負數),但我們不能就此指出方程無解,這會與圖像有交點的程況不一致!
這次,我們無得再逃避了,要達到求三次方程的根這個目標,必先要好好研究這類「新」的數的運算!
就是這個圖像上的原因,令我接受書本上所謂由解三次方程開始才重視複數的事實。
這原因是對?是錯?我不知。很大程度取決於當時數學家怎樣看方程的圖像這概念。事實上,坐標幾何的出現,現今歸功於十七世紀笛卡兒 (Rene Descartes, 1596 - 1650) 的貢獻,這是在三次方程求根公式之後發生的事情。不過數學發展不是石頭爆出來的,之前都有很多痕跡可尋。例如遠在古希臘的阿波羅尼奧斯 (Apollonius, 262BC - 196 BC),他處理圓錐曲線的一些技巧與現今坐標幾何的方法相近。所以我覺得15、16 世紀數學家是從圖像令他們不重視二次方程的複數解,但在三次方程時要認真處理,也不足為奇。
世事就是咁神奇,以為可以避開,當佢不存在便何。實際上,不存在真的不存在嗎?避無可避,終於要面對。
避到就是好,避唔到就是禍?未必如此。
終於發現了複數。但往後的發展十分緩慢,一直要過多兩三百年,Gauss、Argand 等人給出「複平面」,發展開始快得多,再由黎曼推上一個頂峰。
通常是:
數學家在研究三次方程 (cubic equation) 的求根公式時,發現了複數……
又或者
為了使 x^2 = -1, x^2 = -2......等方程有解,於是引入 i = sqrt(-1)
輕輕地交代了複數的發現,然後,大家便利用 i^2 = -1 這規則,再加上一直以來在實數四則運算見慣的交換律、分配律,進行複數的運算。
我想大約在我讀預科時,我「相信」複數是由數學家研究三次方程時開始被重視,因為我見過很多書都係咁講。而「為了使 x^2=-1, x^2=-2......等方程有解,於是引入 i=sqrt(-1)」只是一些書本簡便起見作出的引子吧。
那是我只是信,相信權威吧,但沒有其他理性上的理據說服到我。
當時我心入面有幾個問題:
1. 為甚麼要把 a+bi 看作「複數」,單單處理「bi」不行嗎?隨著接觸數學越來越多,我知道以「a+bi」作一個整體來看待,會引發出往後數學上很多豐盛的成果。
2. 為甚麼是在求「三次」方程才開以注意到複數?其實在二次方程的求根公式,有時都需要處理開方根號內帶有負數的問題 (即二次方程的判別式 b^2 - 4ac < 0)。
到近年 (近兩三年吧,近兩三年無乜時間觀念,忘了是何時了),我才想出一個令我接受的原因。
(這個純粹是我令自己接受的原因,未必是正確的原因,我也沒有去考究現今主流研究數學史的學者是否抱著這觀點。)
先看二次方程的情況。我們可把二次方程 ax^2 + bx + c =0 寫成
x^2 - mx - n = 0, 其中 m = -(b/a), n = -(c/a)
移項得出
x^2 = mx + n
好戲在後頭,引入未知數 y,得出以下聯立方程:
y = x^2 及 y = mx + n
原來的二次方程的根,便是這個方程組中 x 的解了。點解我要咁做?我想在直角坐標平面上「看」二次方程的解。
圖中顯示出 y = x^2 與 y = mx + n 的圖像。交點的 x 坐標便是原本二次方程的解。
不難想像,不同的 m 和 n 的值,就可代表不同的二次方程。
圖像中,y=x^2 這拋物線不變,改變直線 (即 m 和 n 的值),就可代表了不同的二次方程。大家有否發現,不是所有直線都與拋物線有交點?例如把我的附圖中的直線往下移,便會得出一條與拋物線不相交的直線。
沒有交點,即是方程無解吧!也就是判別式 b^2 - 4ac < 0。
因此,在解二次方程時,若 b^2 - 4ac < 0,我們可以不去深究 sqrt(b^2 - 4ac) 究竟是甚麼。無解就是無解啦,無交點就是無交點啦,不存在就是不存在啦,何須自找麻煩去研究這些不存在的東西?
真的不用理嗎?看看三次方程的情況。
三次方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0,可以變換為
t^3 + pt + q = 0 (設 t = x - a/3 )
與二次方程的做法相似,改寫成
y = t^3 及 y = - pt - q
這樣便可在 yt 平面上觀察解的情況。
下圖是 y = t^3 的圖像:
這三次函數的圖像,與二次函數 y = x^2 的圖像有一個很明顯的分別,就是沒有最低點。
給定任意一個 y 值,我們都可以找到圖像上對應的 t 值。當在圖上加上直線,必定會與曲線相交!這代表著三次方程「必定」有解。
但看看三次方程 t^3 + pt + q = 0 的求根公式:
這公式我是在 wiki 抓下來,三個公式中,都有 sqrt((q^2)/4 + (p^3)/27) 這項。
設 q = 0, p=3,代入第一個公式,我們得出 t = 0 是一個解,是方程 t^3 + 3t = 0 的一個解。這個解與我們用因式分解得出的結果是一致的!
就係咁簡單?還未完。
看看方程 t^3 - 57t + 56 = 0,大家可把 t = -8, 1, 7 代入方程,發現它們是該方程的根。
繪畫 y = t^3 與 y = 57t - 56 的圖像,它們會於 t = -8, 1, 7 三處相交!
但是,把 p = -57 及 q = 56 代入求根公式,
會發現 (q^2)/4 + (p^3)/27 = -6075,即 sqrt((q^2)/4 + (p^3)/27) = sqrt(-6075) 不是實數
在第一個公式會得出
(-28 + sqrt(-6075))^(1/3) + (-28 - sqrt(-6075))^(1/3)
注意在第一個公式中,本身沒有複數。但我們看到要利用這公式求得這方程的解(實數),我們先要懂得處理負數的開方根及有關的運算,即是複數的運算!(以上式子的結果為 7)
二次方程中,若 b^2 - 4ac < 0,公式涉及 sqrt(負數),我們說方程無解,結果與圖像無交點是一致的。
而三次方程中,若 (q^2)/4 + (p^3)/27 < 0,公式涉及 sqrt(負數),但我們不能就此指出方程無解,這會與圖像有交點的程況不一致!
這次,我們無得再逃避了,要達到求三次方程的根這個目標,必先要好好研究這類「新」的數的運算!
就是這個圖像上的原因,令我接受書本上所謂由解三次方程開始才重視複數的事實。
這原因是對?是錯?我不知。很大程度取決於當時數學家怎樣看方程的圖像這概念。事實上,坐標幾何的出現,現今歸功於十七世紀笛卡兒 (Rene Descartes, 1596 - 1650) 的貢獻,這是在三次方程求根公式之後發生的事情。不過數學發展不是石頭爆出來的,之前都有很多痕跡可尋。例如遠在古希臘的阿波羅尼奧斯 (Apollonius, 262BC - 196 BC),他處理圓錐曲線的一些技巧與現今坐標幾何的方法相近。所以我覺得15、16 世紀數學家是從圖像令他們不重視二次方程的複數解,但在三次方程時要認真處理,也不足為奇。
世事就是咁神奇,以為可以避開,當佢不存在便何。實際上,不存在真的不存在嗎?避無可避,終於要面對。
避到就是好,避唔到就是禍?未必如此。
終於發現了複數。但往後的發展十分緩慢,一直要過多兩三百年,Gauss、Argand 等人給出「複平面」,發展開始快得多,再由黎曼推上一個頂峰。
Sunday, October 25, 2009
十年
最近 youtube 一段片,全城熱爆,不知大家有沒有看過?
按我看片
對白如下:
「我唔係無試過,我試過安份守己,日搏夜搏,賺o個一萬幾千。我試過。但出面o個班人,出面o個班人呀,佢地識建築識起樓咩?佢地只係攞少少錢出o黎,攞少少時間,炒起個樓市就不停係到賺大錢,咁叫公平咩?
你出去問下人,是但問一個人,問下佢地需要d乜野,佢地答案好簡單,只係需要一間好普通好普通gei樓。點解佢地要用成世人gei時間去供一層樓呀?因為d有錢佬係到玩野呀,越有錢就越有得玩呀!呢個世界公平咩,呢個世界公平咩!」
片段是節錄自十年前 (1999) 無線電視劇《創世記》,近日在網絡上熱起來。
套用落十年後的今日,依然適用。還有甚麼話好說?好聽的講,香港「安定」吧,難聽的,就是無進步。
當年董伯伯本著惻隱之心,希望安得廣廈千萬家,但既得利益者眼看身家插水,當然同你死過。自此,政府很多事情咪照顧有錢佬。市民?不打緊啦,市民無乜能力令政府倒台,但有錢佬有這個能力,通北京關係良好的更加有這個能力。
大陸高官都識慢慢來。人仔一下急升的話,喪失廉價勞動力這優勢,佢都好唔掂,所以懶理美國佬吠,我有我慢慢升。但慢慢來不等於乜都唔做。
香港現在就係乜都唔做,甚至火上加油。或者咁樣,佢地懂活用慢慢來吧。普選!?慢慢來啦,哈哈哈哈)))))))))))) 2017 後來個 2022......
已發展地區貧富差距最大,這是美譽嗎?
唔駛理。幾百萬小市民,who care??最重要是19個億萬富翁!
在 youtube 重溫了一些創世紀精華片段,又幾好睇。當年我覺得創世紀都幾閹悶,特別係下部《創世記II之天地有情》。人大左,心態唔同?還是精華特別好睇?
不過我想 CCTVB 現在無可能出到這些精警對白。一來自我審查,二來香港越來越多道德塔利班。看 youtube,創世記中有一段出現「頂你個肺」,今時今日,相信無可能出街。
電視劇,越來越與社會脫節。七十二家租客?有無搞公呀。現在乜世紀?當年七十二家房客的成功在反映民生不態。在這個世紀沒有好題材嗎?幹麼要炒冷飯??或者只當古裝片的延申……晚清、民初……之後咪到六七十年代 lor……
按我看片
對白如下:
「我唔係無試過,我試過安份守己,日搏夜搏,賺o個一萬幾千。我試過。但出面o個班人,出面o個班人呀,佢地識建築識起樓咩?佢地只係攞少少錢出o黎,攞少少時間,炒起個樓市就不停係到賺大錢,咁叫公平咩?
你出去問下人,是但問一個人,問下佢地需要d乜野,佢地答案好簡單,只係需要一間好普通好普通gei樓。點解佢地要用成世人gei時間去供一層樓呀?因為d有錢佬係到玩野呀,越有錢就越有得玩呀!呢個世界公平咩,呢個世界公平咩!」
片段是節錄自十年前 (1999) 無線電視劇《創世記》,近日在網絡上熱起來。
套用落十年後的今日,依然適用。還有甚麼話好說?好聽的講,香港「安定」吧,難聽的,就是無進步。
當年董伯伯本著惻隱之心,希望安得廣廈千萬家,但既得利益者眼看身家插水,當然同你死過。自此,政府很多事情咪照顧有錢佬。市民?不打緊啦,市民無乜能力令政府倒台,但有錢佬有這個能力,通北京關係良好的更加有這個能力。
大陸高官都識慢慢來。人仔一下急升的話,喪失廉價勞動力這優勢,佢都好唔掂,所以懶理美國佬吠,我有我慢慢升。但慢慢來不等於乜都唔做。
香港現在就係乜都唔做,甚至火上加油。或者咁樣,佢地懂活用慢慢來吧。普選!?慢慢來啦,哈哈哈哈)))))))))))) 2017 後來個 2022......
已發展地區貧富差距最大,這是美譽嗎?
唔駛理。幾百萬小市民,who care??最重要是19個億萬富翁!
在 youtube 重溫了一些創世紀精華片段,又幾好睇。當年我覺得創世紀都幾閹悶,特別係下部《創世記II之天地有情》。人大左,心態唔同?還是精華特別好睇?
不過我想 CCTVB 現在無可能出到這些精警對白。一來自我審查,二來香港越來越多道德塔利班。看 youtube,創世記中有一段出現「頂你個肺」,今時今日,相信無可能出街。
電視劇,越來越與社會脫節。七十二家租客?有無搞公呀。現在乜世紀?當年七十二家房客的成功在反映民生不態。在這個世紀沒有好題材嗎?幹麼要炒冷飯??或者只當古裝片的延申……晚清、民初……之後咪到六七十年代 lor……
Sunday, October 18, 2009
派糖
無預過政府會派糖,就算派,幾年來的經驗,發覺最大得益者也不會是市民。
偏遠地區交通津貼?津貼給大欖隧道加價。
幼稚園學券?小型幼稚園結業,大規模的則加價。
注資入MPF?我無得益。最大得益也是保險公司吧,賺蝕都有錢收。
金融海嘯,我之前在mpf賺落的也倒蝕,又做左傻仔聽個代理講轉番保本先,結果回升無我份。每當看見紅色(代表蝕錢)的結算書,真是火上心頭。
送一百蚊慳電膽券?當初聽到都覺奇怪,要搞環保大把野好搞,大把新電器都慳電過舊電器,又安全d,倒不如資助貧窮老弱換新電器更好吧?又或者益下巴士公司,資助佢地換晒新車好過啦,果d舊車的廢氣真係恐怖。結果被揭發懷疑利益輸送。今次傳媒對特首好似鬆過甘乃威喎,唔係應該掉轉嗎?又一次看清傳媒。
買樓,我想這一世人都無乜本事。那個醫生+律師的一對,也供不起樓,或者是誇張了一些。但要搵幾多錢先供得起樓?
我供唔供得起?沒有認真計過。但我一家四口,就算預阿妹第時嫁出去,都無理由預自己孤獨終老吧?自己加埋老婆仔女加埋父母,起碼要預五六個人啦,無理由買兩三百呎掛?預五百呎吧。在天水圍也要一百萬。扣晒所有生活必要開支,勉強都可能得掛。但之後唔駛預自己會有乜娛樂。出街睇戲食飯?免問。旅行?發夢好啦。每個月辛辛苦苦賺來的,除了家用,就是奉獻給李生。仲有,要預家人自己來緊十幾廿年身壯力健。一個唔好彩有乜病,都唔知邊到搵錢來醫。一個唔該失業好幾個月,咁又點算?這個十幾廿年的重膽,我頂得住嗎?
衣食往行,這個「住」,得來不易。
有些人,說甚麼量力而為。無錢買市區,買新界。但這樣看來,莫講是新界,深圳河以北的都無本事買。無錢買樓?租樓lor!
無得著?有無得租衫?
無得食?租野食??
偏遠地區交通津貼?津貼給大欖隧道加價。
幼稚園學券?小型幼稚園結業,大規模的則加價。
注資入MPF?我無得益。最大得益也是保險公司吧,賺蝕都有錢收。
金融海嘯,我之前在mpf賺落的也倒蝕,又做左傻仔聽個代理講轉番保本先,結果回升無我份。每當看見紅色(代表蝕錢)的結算書,真是火上心頭。
送一百蚊慳電膽券?當初聽到都覺奇怪,要搞環保大把野好搞,大把新電器都慳電過舊電器,又安全d,倒不如資助貧窮老弱換新電器更好吧?又或者益下巴士公司,資助佢地換晒新車好過啦,果d舊車的廢氣真係恐怖。結果被揭發懷疑利益輸送。今次傳媒對特首好似鬆過甘乃威喎,唔係應該掉轉嗎?又一次看清傳媒。
買樓,我想這一世人都無乜本事。那個醫生+律師的一對,也供不起樓,或者是誇張了一些。但要搵幾多錢先供得起樓?
我供唔供得起?沒有認真計過。但我一家四口,就算預阿妹第時嫁出去,都無理由預自己孤獨終老吧?自己加埋老婆仔女加埋父母,起碼要預五六個人啦,無理由買兩三百呎掛?預五百呎吧。在天水圍也要一百萬。扣晒所有生活必要開支,勉強都可能得掛。但之後唔駛預自己會有乜娛樂。出街睇戲食飯?免問。旅行?發夢好啦。每個月辛辛苦苦賺來的,除了家用,就是奉獻給李生。仲有,要預家人自己來緊十幾廿年身壯力健。一個唔好彩有乜病,都唔知邊到搵錢來醫。一個唔該失業好幾個月,咁又點算?這個十幾廿年的重膽,我頂得住嗎?
衣食往行,這個「住」,得來不易。
有些人,說甚麼量力而為。無錢買市區,買新界。但這樣看來,莫講是新界,深圳河以北的都無本事買。無錢買樓?租樓lor!
無得著?有無得租衫?
無得食?租野食??
Saturday, October 17, 2009
從畢氏定理說起
最近看書,引發我從另一個角度看畢氏定理。
大家還記得畢氏定理吧?參看圖中的直角三角形,畢氏定理指出了三邊的關係:「a^2 + b^2 = c^2」。
中學時大家做過不少習題,知道符合這關係的 (a, b, c) 的值,有可能是漂亮的整數,如 (3, 4, 5),亦有可能不太漂亮,如 (2, 3, sqrt(13))。數學家對整數特別有興趣,把這些非零整數的 (a, b, c) 稱為 Pythagorean triples,如 (3, 4, 5), (5, 12, 13) 便是其中兩組。
現在我們把數式「a^2 + b^2 = c^2」變換一下。
把整個式子除以 c^2,得出
(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
設 x = (a/c), y = (b/c),得出
x^2 + y^2 = 1
似曾相識嗎?無錯,這是圓方程。下圖的紅色線,顯示該方程在第一象限中的圖像。
每個符合畢氏定理的 (a, b, c),均可化為該線上的一點。
而當中的 Pythagorean triples,便是該線上 x 坐標和 y 坐標均是非零有理數的點。
在數線上,不難想像任何兩個有理數之間,我們必定會找到無理數;任何兩個無理數之間,也可找到有理數。無理數與有理數,大家互相穿插其中。
平面上也應該差不多吧?
任意兩個有理的 x 坐標之間,必會出理無理的 x 坐標;任意兩個無理的 x 坐標之間,也必會出現有理的 x 坐標。
任意兩個有理的 y 坐標之間,必會出理無理的 y 坐標;任意兩個無理的 y 坐標之間,也必會出現有理的 y 坐標。
在 xy 平面上畫一條線,該線會通過一些 x, y 坐標均是有理數的點,不足為奇吧?
就像 x^2 + y^2 = 1 的圖像般。
真的嗎?
大家留意到圖中還有一條藍線吧?那是方程 x^3 + y^3 = 1 的圖像。
這條線也會通過一些 x, y 坐標均是非零有理數的點嗎?
答案是不會的。
點解?
費馬大定理
費馬大家理,幾百年前費馬的一個猜想,它猜測方程「a^n + b^n = c^n」當 n 是大於2的整數時,(a, b, c)不可能全是非零整數。這個猜想,一直到十多年前才得以證明。
把「a^n + b^n = c^n」全式除以 c^n,再如之前般設 x=a/c, y=b/c,得出
x^n + y^n =1。
若x, y 可以是有理數,把全式乘以 (x 和y 的 分母的 LCM)^n,便得可得出一組整數的 (a, b, c) 符合「a^n + b^n = c^n」,這與費馬大定理產生矛盾,所以是不可能的。
因此,
曲線 x^3 + y^3 =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
曲線 x^4 + y^4 =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
曲線 x^5 + y^5 =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
.
.
.
只要 n 是大於 2 的整數,曲線 x^n + y^n =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
神奇嗎?這兒有無數條曲線,都不會通過 x, y 坐標均是有理數的點!
雖然有理數、無理數均有無數個,但這樣看來,有理數與無理數相比,真是少得可憐。
數,是數論、代數問題。坐標,是幾何問題。很少會把兩者一併來看,是我的想像力太低吧。
如果 n 不是整數,例如 2.5, 3.334, 甚至是 sqrt(3)、Pi 等無理數,情況又會如何呢?我不知道。
大家還記得畢氏定理吧?參看圖中的直角三角形,畢氏定理指出了三邊的關係:「a^2 + b^2 = c^2」。
中學時大家做過不少習題,知道符合這關係的 (a, b, c) 的值,有可能是漂亮的整數,如 (3, 4, 5),亦有可能不太漂亮,如 (2, 3, sqrt(13))。數學家對整數特別有興趣,把這些非零整數的 (a, b, c) 稱為 Pythagorean triples,如 (3, 4, 5), (5, 12, 13) 便是其中兩組。
現在我們把數式「a^2 + b^2 = c^2」變換一下。
把整個式子除以 c^2,得出
(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
設 x = (a/c), y = (b/c),得出
x^2 + y^2 = 1
似曾相識嗎?無錯,這是圓方程。下圖的紅色線,顯示該方程在第一象限中的圖像。
每個符合畢氏定理的 (a, b, c),均可化為該線上的一點。
而當中的 Pythagorean triples,便是該線上 x 坐標和 y 坐標均是非零有理數的點。
在數線上,不難想像任何兩個有理數之間,我們必定會找到無理數;任何兩個無理數之間,也可找到有理數。無理數與有理數,大家互相穿插其中。
平面上也應該差不多吧?
任意兩個有理的 x 坐標之間,必會出理無理的 x 坐標;任意兩個無理的 x 坐標之間,也必會出現有理的 x 坐標。
任意兩個有理的 y 坐標之間,必會出理無理的 y 坐標;任意兩個無理的 y 坐標之間,也必會出現有理的 y 坐標。
在 xy 平面上畫一條線,該線會通過一些 x, y 坐標均是有理數的點,不足為奇吧?
就像 x^2 + y^2 = 1 的圖像般。
真的嗎?
大家留意到圖中還有一條藍線吧?那是方程 x^3 + y^3 = 1 的圖像。
這條線也會通過一些 x, y 坐標均是非零有理數的點嗎?
答案是不會的。
點解?
費馬大定理
費馬大家理,幾百年前費馬的一個猜想,它猜測方程「a^n + b^n = c^n」當 n 是大於2的整數時,(a, b, c)不可能全是非零整數。這個猜想,一直到十多年前才得以證明。
把「a^n + b^n = c^n」全式除以 c^n,再如之前般設 x=a/c, y=b/c,得出
x^n + y^n =1。
若x, y 可以是有理數,把全式乘以 (x 和y 的 分母的 LCM)^n,便得可得出一組整數的 (a, b, c) 符合「a^n + b^n = c^n」,這與費馬大定理產生矛盾,所以是不可能的。
因此,
曲線 x^3 + y^3 =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
曲線 x^4 + y^4 =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
曲線 x^5 + y^5 =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
.
.
.
只要 n 是大於 2 的整數,曲線 x^n + y^n =1 不會通過 x, y 坐標均是有理數的點。
神奇嗎?這兒有無數條曲線,都不會通過 x, y 坐標均是有理數的點!
雖然有理數、無理數均有無數個,但這樣看來,有理數與無理數相比,真是少得可憐。
數,是數論、代數問題。坐標,是幾何問題。很少會把兩者一併來看,是我的想像力太低吧。
如果 n 不是整數,例如 2.5, 3.334, 甚至是 sqrt(3)、Pi 等無理數,情況又會如何呢?我不知道。
Thursday, October 15, 2009
靜夜思
床前明月光
疑是地上霜
舉頭望明月
低頭思故鄉
這首傳誦千古的《靜夜詩》,是有詩仙之稱的李白之經典作品。相信沒有一個中國人未曾聽過。
最近讀到一則舊聞,知道這個版本是在明、清開始流傳,再之前的版本是這樣的:
床前看月光
疑是地上霜
舉頭望山月
低頭思故鄉
不知這個版本是否李白的原作,但我覺得這個版本好得多。
以前我覺得「床前明月光」中的「明」,應作動詞,但又解不通。這個較古老的版本,看月光則通得多了。看那篇報導,還說一首詩出現兩次「明月」,不合格律。較古老的那個版本沒有這問題。
改完更差,點解明清學者要改李白的大作?真係唔知……
我覺得可能同方言有關。
以前看過一些文章,其實我們南方人用的漢語,保留了很多古漢語的音調、用字。年代月晚,我們中國的政治中心越往北移,可能因此令北方漢語有了優勢。試用普通話念那個較古舊版本的靜夜思,念起來不及新版動聽的。或許明清的學者就是這原因把詩改掉。
真不明白學中文點解要學普通話。現在小學生,上中文課也用普通話,頂!北大人控制了這個話語權。普通話咪又係方言,北京人的方言。去台灣的討論區如果打「香港文」,會比人圍剿,話你用外星文。其實很多台灣文我們也未必看懂。白話文=普通話?大把所謂白話文,一大堆北京土話,南方人也不會看得懂。
有一排流行國語唐詩光碟,賣晒廣告,但我覺得很難聽。念唐詩還是廣東話好聽得多。
堂堂偉人的大作都可改掉,讀到這舊聞不禁心傷。如果蒙娜麗莎的微笑出現在中國,幾百年後所流傳的會是惡搞版嗎?
無法啦,這就是命。
疑是地上霜
舉頭望明月
低頭思故鄉
這首傳誦千古的《靜夜詩》,是有詩仙之稱的李白之經典作品。相信沒有一個中國人未曾聽過。
最近讀到一則舊聞,知道這個版本是在明、清開始流傳,再之前的版本是這樣的:
床前看月光
疑是地上霜
舉頭望山月
低頭思故鄉
不知這個版本是否李白的原作,但我覺得這個版本好得多。
以前我覺得「床前明月光」中的「明」,應作動詞,但又解不通。這個較古老的版本,看月光則通得多了。看那篇報導,還說一首詩出現兩次「明月」,不合格律。較古老的那個版本沒有這問題。
改完更差,點解明清學者要改李白的大作?真係唔知……
我覺得可能同方言有關。
以前看過一些文章,其實我們南方人用的漢語,保留了很多古漢語的音調、用字。年代月晚,我們中國的政治中心越往北移,可能因此令北方漢語有了優勢。試用普通話念那個較古舊版本的靜夜思,念起來不及新版動聽的。或許明清的學者就是這原因把詩改掉。
真不明白學中文點解要學普通話。現在小學生,上中文課也用普通話,頂!北大人控制了這個話語權。普通話咪又係方言,北京人的方言。去台灣的討論區如果打「香港文」,會比人圍剿,話你用外星文。其實很多台灣文我們也未必看懂。白話文=普通話?大把所謂白話文,一大堆北京土話,南方人也不會看得懂。
有一排流行國語唐詩光碟,賣晒廣告,但我覺得很難聽。念唐詩還是廣東話好聽得多。
堂堂偉人的大作都可改掉,讀到這舊聞不禁心傷。如果蒙娜麗莎的微笑出現在中國,幾百年後所流傳的會是惡搞版嗎?
無法啦,這就是命。
Sunday, October 11, 2009
周秀娜
科大舉行「解構周秀娜現象」這講座(其實是解構還是解讀?我見一些媒體寫解讀,也有一些寫解構),當知道會邀請周秀娜出席討論時,我就覺得這講座只是吹水綽頭成份居多。
我一直都想找個足本片段看看,不過找不到,算罷。
我想知道,教授眼中的「周秀娜現象」,指的為何物?是指這個夏天出現的一連串與o靚模有關的各種現象?各種現象好多喎,具體上來說是指哪些呢?還是只是針對周秀娜一人的出位言行?例如食雪糕、攬枕等這些在某些人眼中是意淫的東西?不知道在該講座內教授有沒有加以解釋?前提是甚麼也未搞清,之後都係晒氣。我見報章上沒有提及,不過大家都知娛樂版是甚麼吧,所以還想看看原片。
第二天的報紙,也是一面倒去插周秀娜,甚麼出醜呀、未夠班呀。我估佢本人都預左,反正又不是要建立才女形象。
傳媒的報導,主要是針對周秀娜的獻醜位。如唔識答,傻笑、「好深喎」、「可唔可以再問多次?」、「都係好深喎」。
我覺得那位教授,明知對方只是中學程度,就不應拋書包,講術語。這樣做分明是要人家當眾出醜。
很多媒體也彈這講座內容空洞。你知道點解嗎?我認為是邀請了周秀娜參與討論的原固。別誤會,我絕不是想說周秀娜本人未夠班、沒料子。我是想指責主辦單位純為搏出位搞宣傳,不理講座質素。一向我都覺得科大是幾所本地大學中最懂搞公關的一所,看來這次衰了。
打個比喻,如某講座題為「解讀金融海嘯」,大家預期會有甚麼講者?可能是一些大學金融系教授,可能係現職金融界的專業人士,但絕對不會請「金融海嘯」講兩咀吧?
你可能說金融海嘯無口呀,不是人呀。又如何?各「專業人士」也可盡情「客觀」地解讀。同樣地,周秀娜是這講座的焦點,但他是否講者,又有何干?要這個講座有內容,我認為請多幾位有料子、對社會現象有見地的人士,效果會好得多。
請周秀娜上台,講題很明顯由「解讀、解構」,變為「公審」。
若然周秀娜能夠答出一些很有深度的答案,同教授辱槍舌劍,在場幾百人很多都要好好反省。要知道部分大學生只想著打機溝女搵快錢啊,當然還要懂得抄 source,如果唔係點「過」呀。
(一講起 source,真係火都來。早幾天係大快活食飯,隔離台那個女仔同阿爸阿媽係到講就來 mid term 啦,不過都唔緊要,mid term 背 source 就行了。頂!應出卷的人懶去出卷,應求學的人懶去求學!看樣子該父親應該接受過大學教育,但無言以對,不知道當時有甚麼感想。)
周秀娜,或者他所屬的公司,可能有一些獨特見解,但佢無需要向你地解構自己吧。正如就算阿蘇去問人家的美食點整,可唔可以「解構」一下,人家都不會傾囊盡授。比別家對手洞識箇中秘密,市場價值可降低不少呢!
我個人點睇周秀娜? She's hot, but not so beauty.
他亦是這場o靚模熱的眾多o靚模中,較多顯露自己個性的一位,其他大多只顯露乳房吧。就算同新進的歌影視姐仔相比,周秀娜亦是較有個性的一位,雖然很可能純是公司塑造出來,並不是他的真我。自我、獨立、有主見,是我眼中的周秀娜。
無論周秀娜的表現如何,我都對她增添兩分好感。明知是一場公審,明知不可為而為知,明知面對一場沒有 source 的測驗,明知第二日傳媒只會一面倒插自己,依然出席,實在很有勇氣。
我一直都想找個足本片段看看,不過找不到,算罷。
我想知道,教授眼中的「周秀娜現象」,指的為何物?是指這個夏天出現的一連串與o靚模有關的各種現象?各種現象好多喎,具體上來說是指哪些呢?還是只是針對周秀娜一人的出位言行?例如食雪糕、攬枕等這些在某些人眼中是意淫的東西?不知道在該講座內教授有沒有加以解釋?前提是甚麼也未搞清,之後都係晒氣。我見報章上沒有提及,不過大家都知娛樂版是甚麼吧,所以還想看看原片。
第二天的報紙,也是一面倒去插周秀娜,甚麼出醜呀、未夠班呀。我估佢本人都預左,反正又不是要建立才女形象。
傳媒的報導,主要是針對周秀娜的獻醜位。如唔識答,傻笑、「好深喎」、「可唔可以再問多次?」、「都係好深喎」。
我覺得那位教授,明知對方只是中學程度,就不應拋書包,講術語。這樣做分明是要人家當眾出醜。
很多媒體也彈這講座內容空洞。你知道點解嗎?我認為是邀請了周秀娜參與討論的原固。別誤會,我絕不是想說周秀娜本人未夠班、沒料子。我是想指責主辦單位純為搏出位搞宣傳,不理講座質素。一向我都覺得科大是幾所本地大學中最懂搞公關的一所,看來這次衰了。
打個比喻,如某講座題為「解讀金融海嘯」,大家預期會有甚麼講者?可能是一些大學金融系教授,可能係現職金融界的專業人士,但絕對不會請「金融海嘯」講兩咀吧?
你可能說金融海嘯無口呀,不是人呀。又如何?各「專業人士」也可盡情「客觀」地解讀。同樣地,周秀娜是這講座的焦點,但他是否講者,又有何干?要這個講座有內容,我認為請多幾位有料子、對社會現象有見地的人士,效果會好得多。
請周秀娜上台,講題很明顯由「解讀、解構」,變為「公審」。
若然周秀娜能夠答出一些很有深度的答案,同教授辱槍舌劍,在場幾百人很多都要好好反省。要知道部分大學生只想著打機溝女搵快錢啊,當然還要懂得抄 source,如果唔係點「過」呀。
(一講起 source,真係火都來。早幾天係大快活食飯,隔離台那個女仔同阿爸阿媽係到講就來 mid term 啦,不過都唔緊要,mid term 背 source 就行了。頂!應出卷的人懶去出卷,應求學的人懶去求學!看樣子該父親應該接受過大學教育,但無言以對,不知道當時有甚麼感想。)
周秀娜,或者他所屬的公司,可能有一些獨特見解,但佢無需要向你地解構自己吧。正如就算阿蘇去問人家的美食點整,可唔可以「解構」一下,人家都不會傾囊盡授。比別家對手洞識箇中秘密,市場價值可降低不少呢!
我個人點睇周秀娜? She's hot, but not so beauty.
他亦是這場o靚模熱的眾多o靚模中,較多顯露自己個性的一位,其他大多只顯露乳房吧。就算同新進的歌影視姐仔相比,周秀娜亦是較有個性的一位,雖然很可能純是公司塑造出來,並不是他的真我。自我、獨立、有主見,是我眼中的周秀娜。
無論周秀娜的表現如何,我都對她增添兩分好感。明知是一場公審,明知不可為而為知,明知面對一場沒有 source 的測驗,明知第二日傳媒只會一面倒插自己,依然出席,實在很有勇氣。
Angelababy
Burger Box
Sunday, October 04, 2009
炒
上文提到,我覺得渣打的150元紀念鈔短期內不會炒得起。事隔幾天,報章上已有報導說跌破官價。
官價$280,有錢幣店只售 $275。看來有些人原先預作短炒,看見短炒不行,急於套現吧。
熟算四連張和三十五連張,暫時也不是賺得多,與奧運鈔相差甚遠。
自己買了兩套,即是說蝕了 $10,哈哈哈……不打緊,我都無想過會放。
不過我想這套甚具歷史價值,長線來說一定有得升。可能留到自己的孫,會有可觀的回報。
一直覺得這類快錢不是我賺的。命水生成吧。買了幾年六合彩,連 $20 安慰獎也未曾中過,都算是經典。說實話,我未聽過有人買左幾年連$20都未中過。
投資?不敢呢。不清楚這遊戲,不懂去玩,不想辛苦錢眼白白無晒。就連強積金都可以咁玩我,真係 @$!!@%$@#
點解在這個社會,賺大錢,非要投機把賭不可。
我這種人,不會窮到餓死街頭,三餐不飽。但要享受豐盛的物質生活,不會輪到我。
官價$280,有錢幣店只售 $275。看來有些人原先預作短炒,看見短炒不行,急於套現吧。
熟算四連張和三十五連張,暫時也不是賺得多,與奧運鈔相差甚遠。
自己買了兩套,即是說蝕了 $10,哈哈哈……不打緊,我都無想過會放。
不過我想這套甚具歷史價值,長線來說一定有得升。可能留到自己的孫,會有可觀的回報。
一直覺得這類快錢不是我賺的。命水生成吧。買了幾年六合彩,連 $20 安慰獎也未曾中過,都算是經典。說實話,我未聽過有人買左幾年連$20都未中過。
投資?不敢呢。不清楚這遊戲,不懂去玩,不想辛苦錢眼白白無晒。就連強積金都可以咁玩我,真係 @$!!@%$@#
點解在這個社會,賺大錢,非要投機把賭不可。
我這種人,不會窮到餓死街頭,三餐不飽。但要享受豐盛的物質生活,不會輪到我。
Thursday, October 01, 2009
150
買了渣打150元紀念鈔。
今日到奧海城看電影早場,購票後還有很多時間四圍逛,發現原來購買渣打150元紀念鈔的反應不太熱烈,於是我也買來紀念一番。
之前看報得知會發行150元紀念鈔,也有一些意欲購買留念,因為面值150元實在特別。不過想起去年中銀的奧運紀念鈔,排隊的人龍實在得人驚。那次我也想過購買普通版的,但不至於看見如斯人龍也願去排隊,更加不會益炒家。
這次渣打的,面值150元,說是甚麼全球首創,心想定必吸引很多排隊黨來掃貨炒賣,所以我都沒有想過會買成。誰知看見銀行門外架起作排隊之用的鐵欄,眼見有五六行,但只用到一行,於是我也去排隊輪候。很快便輪到我,現金交易,十分爽快。由排隊到收貨,過程快過去櫃員機提款。
在奧海城分店處,每次最多限買十套,但沒有限你排多少次。我見有些人應該排了好幾次,捧著一個大膠袋,內裏起碼有四五十套,買來炒賣嗎?但如此容易給我買到的東西,我想沒有甚麼短期的炒作潛力。
當我看完電影再去渣打望一望,已經不用排隊,要買的話真是快過去麥記買包!
可能是渣打這次安排得好,減低炒作之風。喜歡炒賣的人,可以一早應購甚麼自選號碼、幸運號碼、幾多幾多連張等。聞說35連張的炒價比定價高一倍,不知是否有價有市呢?而像我這種覺得特別只想拿來作一個紀念的市民,也可輕輕鬆鬆購買。炒家有炒家的喜,我有我的樂,實在皆大歡喜。加上今日職員親切友善,令我對渣打多了兩分好感。
渣打150週年,與我何干?只是對那面值150元感興趣。
京奧其實多幾分親切,但發行紀念鈔變成炒賣的貨品,去年看在眼裏實在火上心頭。或許是中共送給港人賺快錢的大禮。花時間排下隊,就必定有回報,好過去抽新股,更好過努力去工作。
如果當局真想與民同樂,印一批流通市面便可,鍾意直版的就去排隊。我又不太介意不是直版,如果購物、提款時收到,便留下一兩張留念,這也不錯。記得之前的97紀念硬幣也有流通市面,像 Laughing 哥的五蚊銀便是其中一枚。很多人也見過吧?
港人之樂,在於炒賣,中共也深明此道,投其所好。
今日到奧海城看電影早場,購票後還有很多時間四圍逛,發現原來購買渣打150元紀念鈔的反應不太熱烈,於是我也買來紀念一番。
之前看報得知會發行150元紀念鈔,也有一些意欲購買留念,因為面值150元實在特別。不過想起去年中銀的奧運紀念鈔,排隊的人龍實在得人驚。那次我也想過購買普通版的,但不至於看見如斯人龍也願去排隊,更加不會益炒家。
這次渣打的,面值150元,說是甚麼全球首創,心想定必吸引很多排隊黨來掃貨炒賣,所以我都沒有想過會買成。誰知看見銀行門外架起作排隊之用的鐵欄,眼見有五六行,但只用到一行,於是我也去排隊輪候。很快便輪到我,現金交易,十分爽快。由排隊到收貨,過程快過去櫃員機提款。
在奧海城分店處,每次最多限買十套,但沒有限你排多少次。我見有些人應該排了好幾次,捧著一個大膠袋,內裏起碼有四五十套,買來炒賣嗎?但如此容易給我買到的東西,我想沒有甚麼短期的炒作潛力。
當我看完電影再去渣打望一望,已經不用排隊,要買的話真是快過去麥記買包!
可能是渣打這次安排得好,減低炒作之風。喜歡炒賣的人,可以一早應購甚麼自選號碼、幸運號碼、幾多幾多連張等。聞說35連張的炒價比定價高一倍,不知是否有價有市呢?而像我這種覺得特別只想拿來作一個紀念的市民,也可輕輕鬆鬆購買。炒家有炒家的喜,我有我的樂,實在皆大歡喜。加上今日職員親切友善,令我對渣打多了兩分好感。
渣打150週年,與我何干?只是對那面值150元感興趣。
京奧其實多幾分親切,但發行紀念鈔變成炒賣的貨品,去年看在眼裏實在火上心頭。或許是中共送給港人賺快錢的大禮。花時間排下隊,就必定有回報,好過去抽新股,更好過努力去工作。
如果當局真想與民同樂,印一批流通市面便可,鍾意直版的就去排隊。我又不太介意不是直版,如果購物、提款時收到,便留下一兩張留念,這也不錯。記得之前的97紀念硬幣也有流通市面,像 Laughing 哥的五蚊銀便是其中一枚。很多人也見過吧?
港人之樂,在於炒賣,中共也深明此道,投其所好。
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