通常是：
數學家在研究三次方程 (cubic equation) 的求根公式時，發現了複數……
又或者
為了使 x^2 = -1, x^2 = -2......等方程有解，於是引入 i = sqrt(-1)
輕輕地交代了複數的發現，然後，大家便利用 i^2 = -1 這規則，再加上一直以來在實數四則運算見慣的交換律、分配律，進行複數的運算。
我想大約在我讀預科時，我「相信」複數是由數學家研究三次方程時開始被重視，因為我見過很多書都係咁講。而「為了使 x^2=-1, x^2=-2......等方程有解，於是引入 i=sqrt(-1)」只是一些書本簡便起見作出的引子吧。
那是我只是信，相信權威吧，但沒有其他理性上的理據說服到我。
當時我心入面有幾個問題：
1. 為甚麼要把 a+bi 看作「複數」，單單處理「bi」不行嗎？隨著接觸數學越來越多，我知道以「a+bi」作一個整體來看待，會引發出往後數學上很多豐盛的成果。
2. 為甚麼是在求「三次」方程才開以注意到複數？其實在二次方程的求根公式，有時都需要處理開方根號內帶有負數的問題 (即二次方程的判別式 b^2 - 4ac < 0)。
到近年 (近兩三年吧，近兩三年無乜時間觀念，忘了是何時了)，我才想出一個令我接受的原因。
(這個純粹是我令自己接受的原因，未必是正確的原因，我也沒有去考究現今主流研究數學史的學者是否抱著這觀點。)
先看二次方程的情況。我們可把二次方程 ax^2 + bx + c =0 寫成
x^2 - mx - n = 0, 其中 m = -(b/a), n = -(c/a)
移項得出
x^2 = mx + n
好戲在後頭，引入未知數 y，得出以下聯立方程：
y = x^2 及 y = mx + n
原來的二次方程的根，便是這個方程組中 x 的解了。點解我要咁做？我想在直角坐標平面上「看」二次方程的解。
圖中顯示出 y = x^2 與 y = mx + n 的圖像。交點的 x 坐標便是原本二次方程的解。
不難想像，不同的 m 和 n 的值，就可代表不同的二次方程。
圖像中，y=x^2 這拋物線不變，改變直線 (即 m 和 n 的值)，就可代表了不同的二次方程。大家有否發現，不是所有直線都與拋物線有交點？例如把我的附圖中的直線往下移，便會得出一條與拋物線不相交的直線。
沒有交點，即是方程無解吧！也就是判別式 b^2 - 4ac < 0。
因此，在解二次方程時，若 b^2 - 4ac < 0，我們可以不去深究 sqrt(b^2 - 4ac) 究竟是甚麼。無解就是無解啦，無交點就是無交點啦，不存在就是不存在啦，何須自找麻煩去研究這些不存在的東西？
真的不用理嗎？看看三次方程的情況。
三次方程 x^3 + ax^2 + bx + c = 0，可以變換為
t^3 + pt + q = 0 (設 t = x - a/3 )
與二次方程的做法相似，改寫成
y = t^3 及 y = - pt - q
這樣便可在 yt 平面上觀察解的情況。
下圖是 y = t^3 的圖像：
這三次函數的圖像，與二次函數 y = x^2 的圖像有一個很明顯的分別，就是沒有最低點。
給定任意一個 y 值，我們都可以找到圖像上對應的 t 值。當在圖上加上直線，必定會與曲線相交！這代表著三次方程「必定」有解。
但看看三次方程 t^3 + pt + q = 0 的求根公式：
這公式我是在 wiki 抓下來，三個公式中，都有 sqrt((q^2)/4 + (p^3)/27) 這項。
設 q = 0, p=3，代入第一個公式，我們得出 t = 0 是一個解，是方程 t^3 + 3t = 0 的一個解。這個解與我們用因式分解得出的結果是一致的！
就係咁簡單？還未完。
看看方程 t^3 - 57t + 56 = 0，大家可把 t = -8, 1, 7 代入方程，發現它們是該方程的根。
繪畫 y = t^3 與 y = 57t - 56 的圖像，它們會於 t = -8, 1, 7 三處相交！
但是，把 p = -57 及 q = 56 代入求根公式，
會發現 (q^2)/4 + (p^3)/27 = -6075，即 sqrt((q^2)/4 + (p^3)/27) = sqrt(-6075) 不是實數
在第一個公式會得出
(-28 + sqrt(-6075))^(1/3) + (-28 - sqrt(-6075))^(1/3)
注意在第一個公式中，本身沒有複數。但我們看到要利用這公式求得這方程的解(實數)，我們先要懂得處理負數的開方根及有關的運算，即是複數的運算！(以上式子的結果為 7)
二次方程中，若 b^2 - 4ac < 0，公式涉及 sqrt(負數)，我們說方程無解，結果與圖像無交點是一致的。
而三次方程中，若 (q^2)/4 + (p^3)/27 < 0，公式涉及 sqrt(負數)，但我們不能就此指出方程無解，這會與圖像有交點的程況不一致！
這次，我們無得再逃避了，要達到求三次方程的根這個目標，必先要好好研究這類「新」的數的運算！
就是這個圖像上的原因，令我接受書本上所謂由解三次方程開始才重視複數的事實。
這原因是對？是錯？我不知。很大程度取決於當時數學家怎樣看方程的圖像這概念。事實上，坐標幾何的出現，現今歸功於十七世紀笛卡兒 (Rene Descartes, 1596 - 1650) 的貢獻，這是在三次方程求根公式之後發生的事情。不過數學發展不是石頭爆出來的，之前都有很多痕跡可尋。例如遠在古希臘的阿波羅尼奧斯 (Apollonius, 262BC - 196 BC)，他處理圓錐曲線的一些技巧與現今坐標幾何的方法相近。所以我覺得15、16 世紀數學家是從圖像令他們不重視二次方程的複數解，但在三次方程時要認真處理，也不足為奇。
世事就是咁神奇，以為可以避開，當佢不存在便何。實際上，不存在真的不存在嗎？避無可避，終於要面對。
避到就是好，避唔到就是禍？未必如此。
終於發現了複數。但往後的發展十分緩慢，一直要過多兩三百年，Gauss、Argand 等人給出「複平面」，發展開始快得多，再由黎曼推上一個頂峰。
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