知半解吧……
係 graph theory 中，歐拉公式如下：
For any simply connected non intersecting finite graph, v - e + f = 2, where v is the number of vertices, e is the number of edges and f is the number of faces.
這公式的其中一個認用，便是多面體的 v, e 和 f 的關係。
我一直以為，只要那凸多面體可在平面上畫成一個 simply connected graph，歐拉公式便成立，如下圖：
左圖的錐體，v=5, e=8, f=5
v-e+f=2
右圖畫成一個 simply connected non-insecting graph，
v=5, e=8, f=5
v-e+f=2
兩者一致，符合歐拉公式
上圖中，左圖是兩個錐體於中間那頂點接合而成。
左圖中
v=9, e=16, f=10
v-e+f=3
右圖畫成一個 simply connected non-intersecting graph,
v=9, e=16, f=9
v-e+f=2
看來這個 graph theory 的歐拉公式，不是咁簡單便可直接用在多面體上。
失敗……
4 comments:
第二個圖不是凸多面體??
第二個圖我知是凹
但我也不確定可否算是多面體
看過很多定義，好似不同用途、不同程度下，多面體的定義在細節上有少許出入
好似所有凸多面體，都符合歐拉公式，但凹的就不是全部都成立。
當初我想，可能所有凸的都可畫成一個 simply connected non-intersecting graph (只是我覺得，無去證，應有人證了吧？)，凹的就不是所有都可畫成那樣的 graph，我有想到一些不能畫成那種graph 的凹多面體。
但我那圖的，可畫成那 graph，但又不符合那公式…
Euler characteristic, V-E+F=2, only applicable to polyhedron that homeomorphic to sphere. The second graph is homeomorphic to two shpere connected in a point.
Therefore,
X(sphere U sphere) = X(sphere) + X(sphere) - X(intersection)
= 2 + 2 - 1 = 3.
開始有點明白你的問題，我想因為是你將第二個多面體畫成平面圖時出現問題吧。一般情況下，多面體的其中一個面應該要對應於平面圖的最外面（即無限大面），但你好像把第二個多面體的兩塊面都變成平面圖的無限面了。
其實我不懂圖論，所以只是猜猜罷了。我不知道「多面體可以畫成平面圖」這個句子的確實意義是甚麼呢．．哈哈。
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