全家幅

不計底座的不同顏色，我終於集齊一套了。




工作忙碌時，抬頭一看看見如此陣容，確是會另人會心微笑。

抽下抽下，也抽了十幾隻。多數都抽到藍色底座的。另外食人花的底座並不是磚塊。點解？你有打孖寶兄弟架？食人花是從水管伸出來的。

想起來，這是我第一次用抽的方法去集齊一套蛋。以前如果成套蛋也鍾，我會一整套買下來，這樣會化算得多。

抽了百多元，是抵還是不抵呢？
在葵涌廣場，一套六隻只須五十多元。
明知這個價比抽六隻蛋還要低我都走去抽，實在戇居。抽蛋的快感可真貴。
如果假設得六款(底座顏色相同的當是同一款)，抽得各款的概率均等(即六分之一)，用概率的知識，要使每款最少抽得一隻，抽蛋次數的期望值(expectation, expected value)是14.7次，那即是要用$147吧，我所抽的金額略比這個數低，算是賺了？哈哈哈哈))))))))))

要計算這道問題，可以算是相當複雜，也可以說頗簡單。不過我在之前已解決了。

話說火星人以前問過我一道問題：
假設你部ipod內儲存了n首不同的歌曲。假設你每次也隨機選一首來播放，要使每首最少播放一次，播放次數的期望值是多少？
那時我用期望值的定義：E(X)=summation(x*p(x))，來砌了很久，砌了一條頗複雜的數式。
你細心去想想，就算n的值很小，例如3、4，p(x)也不簡單了。
這個E(x)是一個無窮數列(infinite series)，我都搞左一會先睇到佢會收歛(converge)。
最終還未想到法子進一步化簡。
後來，在書本上找其他東西時，看到作者用了一個法子去處理某問題，想了一想後，發覺作一些改動後，那個ipod問題也可用這法子來處理，於是得出了一個較簡潔的答案。
哈哈哈，可惜當初的算草不見了，後來事忘也沒去想。否則用果兩個方法得出的答案可以寫出一條恆等式吧。遲D再去想想。

這個問題看似解決了，但更一般的情況我還未做到答案。例如每首歌最少播兩次？每款蛋最少抽到3隻(答案當然不會是14.7乘3)？那n件物件中每件最少被抽出r次？大家也想想吧，話唔定你地會一想便想到。

上文提及期望值收歛的問題，其實有段時期我有一個誤解，那就是期望值必定收歛。

首先，期望值有它的現實意義，如果那並不收歛，「感覺」怪怪似的。
中學時不會計算到有無窮多個項的期望值。
預科時會有計算可以寫成無窮數列、積分形式的期望值，例如依循 Geometric distribution, normal distribution uniform distribution 等分佈的隨機變量的期望值。計親都會收歛，令我印像更深刻。那時根本沒有足夠知識去理解 convergency, integrability 等問題，所以計親都係很靚吧。
到了大學，就算有了這類知識，但課堂上也沒有刻意提及這問題。
究竟我是何時發現呢？應該是上過概率的課之後，但又未畢業。
那時曾較深入想過一個賭博問題：
中學時，已聽朋友說過一個賭大小的必贏策略，相信大家也聽過吧。那就是第一局，你下注 $100。贏了即走，輸了再玩，但下注雙倍，即是$200。又係贏了即走，輸了再玩，但下注雙倍。如是者一直玩玩到贏錢為止，那麼你最後就會贏得$100。中學時大家也沒有很數學地去想，只是覺得現實出發不可行，因為賭場有圍骰通殺，亦即在這策略下實際上你每局贏的概率是低於二分之一。

但其實，就算沒有圍骰這回事。在贏錢之前，你要輸掉的金額的期望值，並不是收歛的，而是會趨向無窮大。即是說你期望先輸掉無窮大的金錢，才可贏得 $100。

十賭九騙呀，哈哈哈哈))))))