那時覺得圍骰通殺所以無可能必贏，只是自己的幼稚想法，當然唔 logic。
置於為何輸掉金額的期望值是無限大，理由如下：
贏錢那一局，可以是第一局、第二局、第三局……
現考處贏之前所付出的本錢
第一局贏，付出的便是下注的那$100，概率是 1/2
第二局贏，就付出兩局的下注，即$100+$200=$300，概率是 (1/2)*(1/2)=1/4
第三局贏，就付出三局的下注，即$100+$200+$400=$$700，概率是 (1/2)^3=1/8
第四局贏，就付出四局的下注，即$100+$200+$400+$800=$1500，概率是 (1/2)^4=1/16
.
.
.
第n局贏，就付出n局的下法，即$100*(2^n-1)，概率是 (1/2)^n
付出金額的期望值
=$100*1/2+$300*(1/2)^2+$700*(1/2)^3+...
>$100*1/2+$200*(1/2)^2+$400*(1/2)^3+...
=$50+$50+$50+...
趨向無限
所以要贏 $100，你就期望先付出無限多的金額吧。
現實上，即是如果有很多很多人依這個策略去賭，這一堆人要贏 $100 之前，所付出的金額的平均數是無限。是這樣嗎？
不過現實又唔會有無限多金錢，咁即係點呢？我都唔知。
引伸下去，或者我們樂觀些去看：
不考慮期望值，我們考慮中位數(median)。很明顯，在第一局便贏錢的概率是 1/2，即是要贏錢所玩的局數的中位數是一局。這代表如果有很多很多人依這個策略去賭，這一堆人內，有一半可以在第一局便贏到錢！一半喎，算是很大的比例了！咁樣睇係唔係會開心D？
咁樣……究竟我地應該用期望值去睇還是中位數去睇呢？中學課本都有教，平均數(期望值也算是平均數吧)點點點，有乜好處物好處，中位數又有乜好處物好處。其實，都係吹水唔抹咀。不是嗎？
5 comments:
你把贏出那一局的投注也算進去，我認為在某種意義下並無問題，例如我們想計算「總付出期望值」，不過其實就算只是計算「輸錢期望值」，結果一樣都是無限大。然而，無論如何，我們在每個情境的「回報」並不是常為100元，例如我們在第二局贏的話，我們的回報就是200元，所以這樣計算的話，我們的「回報期望值」就是：
100*(1/2 + 2*(1/2)^2+ 4*(1/2)^3+‥‥)
=100*(1/2+1/2+1/2+‥‥)
一樣不收歛，所以回報期望值也是無限大！哈哈！
呀，其實在上面兩種意義下的回報是不一樣的。如果我們是計算「總付出期望值」，那麼對應的回報應該之前所說的兩倍，例如，若第二局贏的話，回報應該為400元，因為我們從賭檯上收回來的是400元。
都唔知你講乜
第二局贏的話回報怎會不是 $100？
第一局付出 $100
第二局付出 $200
第二局贏了，收回 $400
回報=$400-$200-$100=$100
無論你在哪一局贏，回報也只是 $100
例如你在第n局贏，之前所付出的金額
=$100[1+2+2^2+...+2^(n-1)]
=$100[2^n-1]
所贏的金額
=$100*2^n
回報
=$100*2^n-$100[2^n-1]
=$100
所以回報的期望值
=$100*[1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+...]
=$100
這篇文我是要指出，無錯這個策略你可以計算出是必定會贏錢，但每個人都知道在贏錢前你一定要有所付出，而這策略下，你在贏錢前所付出的金額的期望值是無限！
嗯‥‥是我對「回報」一詞的用法錯了。
Just some random search on Wiki:
http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox
http://en.wikipedia.org/wiki/Martingale_(roulette_system)
I have no idea on what these articles are talking about. (不負責任，速逃～）
Post a Comment