趣味題

早前讀到有一條數學趣味題，令我有一些啟發，現在與大家分享一下。

問題：
在某拳擊淘汰賽中，有114名參賽者，於是在第一輪比賽共舉行了57場賽事。在第一輪比賽中勝出的57名參賽者進入第二輪比賽，於是舉行了28場賽事，有一名參賽者可以不用比賽直接進入下一輪。29名參賽者進入第三輪比賽，如此類推。
(a)整個拳擊淘汰賽中，問需要舉辦多少場比賽才可選出冠軍？
(b)若有n名參賽者(n是一個特定但未被指定的正整數)，問需要舉辦多少場比賽才可選出冠軍？

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答案：
(如果你想想一想，請不要看以下的答案。下一部分是死肥仔的反思和感想。以下答案我設了為黑色，即與這個網頁的背景同色，你用滑鼠選擇以下兩行空行便可看見。)
(a) 113
(b) n-1

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反思與感想：
(a)部相信大家也可做到，只是時間多少的問題。而我的策略，只是順應文中脈絡出發
第一輪，有57場比賽，57人進入下一輪
第二輪，有28場比賽，29人進入下一輪
第三輪，有14場比賽，15人進入下一輪
第四輪，有7場比賽，8人進入下一輪
第五輪，有4場比賽，4人進入下一輪
第六輪，有2場比賽，2人進入下一輪
第七輪，有1場比賽，選出了一名冠軍

因此，比賽的總場數=57+28+14+7+4+2+1=113

到了(b)部，我初時嘗試承著(a)的進路去想，但很明顯，每輪比賽的參賽者人數是奇數還是偶數，與比賽場數的關係會有所不同。而每輪的參賽者人數，終歸是受n所影響，但我又無法得出一條簡潔的法則去描述這關係。

於是唯有想想其他的法子。終於，想到了一個簡潔規律，不過進路與(a)的解法有所不同。
不知大家有否留意到以下關係：
有一場比賽 <=> 一人被淘汰
留意，以上的關係是雙箭咀，即是 if and only if。這一個資料是十分重要！
原先我在(a)的解法，是用了以上關係的「左至右」的方向。不過按以上關係，我們亦可從「右至左」去處理。
意未著甚麼？
要淘汰113人，即要有113場比賽
要淘汰(n-1)人，即要有(n-1)場比賽。
因此，答案是 n-1。

實在很神奇。可能各人對文字的理解會有所不同，而對於我，讀畢問題後，第一個感覺就得出(a)的解法，就(a)而言，已是一個圓滿的解答，但到了(b)，我不能把(a)的方法推廣開去。
文中沒有阻止人用我後來想出的方法，但我一開始又真的想不出那方法呢。

就數學知識而言，初中生必能應付。(其實如果小一學生明白文中n的意思，小一學生也可應付吧。)
但重要的不是數學知識，而是解決問題的策略。
就好像拿著螺絲起子，你不是一見螺絲就要用螺絲起子把它起出來，重要是如何運用螺絲起子幫助自己達到目的吧？

其實現實生活我們要解決問題，很多時也遇上這些情況。知識是死，重要的是如何運用適當的知識解決合適的問題。轉一轉腦袋，其實通解有時也不會比特殊解難得多。